Question

【題目】探尋“勾股數(shù)”：直角三角形三邊長是整數(shù)時我們稱之為“勾股數(shù)”，勾股數(shù)有多少？勾股數(shù)有規(guī)律嗎？

（1）請你寫出兩組勾股數(shù)．

（2）試構(gòu)造勾股數(shù)．構(gòu)造勾股數(shù)就是要尋找3個正整數(shù)，使他們滿足“兩個數(shù)的平方和（或差）等于第三數(shù)的平方”，即滿足以下形式：

①　 　2+　 　2＝　 　2；或②　 　2﹣　 　2＝　 　2

③要滿足以上①、②的形式，不妨從乘法公式入手．我們已經(jīng)知道③（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．如果等式③右邊也能寫成　 　2的形式，就能符合②的形式．

因此不妨設(shè)x＝m2，y＝n2，（m、n為任意正整數(shù)，m＞n），請你寫出含m、n的這三個勾股數(shù)并證明它們是勾股數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）勾股數(shù)：3，4，5或6，8，10等；（2）①　3　　4　　5；或②　6　　8　　10；③2．證明見解析.

【解析】

根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．

（1）勾股數(shù)：3，4，5或6，8，10等．

（2）①　3　2+　4　2＝　5　2；或②　6　2﹣　8　2＝　1O　2

③2．

證明：（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4

（m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4，

（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝4m2n2＝（2mn）2．

∴（m2+n2）2﹣（2mn）2＝（m2﹣n2）2，

∴m2+n2，m2﹣n2，2mn為勾股數(shù)．