Question

（2002•杭州）如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點C，⊙O₁與⊙O₂的連心線與外公切線相交于點P，外公切線與兩圓的切點分別為A、B，且AC=4，BC=5．
（1）求線段AB的長；
（2）證明：PC²=PA•PB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知AO₁和BO₂平行，根據同旁內角互補，可知∠AO₁O₂+∠BO₂O₁=180°，根據兩個三角形內角和為360°，且O₁A=O₁C，O₂B=O₂C，可知∠ACO₁+∠BCO₂=90°，然后根據勾股定理求出AB；
（2）證明PC²=PA•PB，即證△PAC∽△PCB，而在這兩個三角形中已經有一個公共角∠P，只需再找一組角即可，根據（1）可得等角的余角相等，可知∠PCA=∠PBC，即可知相似，然后得出等積式．
解答：（1）解：PAB切⊙O₁與⊙O₂與A、B，
∴AO₁⊥PA，BO₂⊥PB
∴AO₁∥BO₂
∴∠AO₁O₂+∠BO₂O₁=180°
又在△AO₁C和△BO₂C中，內角和為360°
∴∠O₁AC+∠O₁CA+∠O₂BC+∠O₂CB=180°
∵O₁A=O₁C，O₂B=O₂C
∴∠O₁AC=∠O₁CA，∠O₂BC=∠O₂CB
∴∠ACO₁+∠BCO₂=90°
∴∠ACB=90°
∴在RT△ABC中，AB=；

（2）證明：由（1），知∠ACO₁+∠BCO₂=90°
而∠O₂BC=∠O₂CB，且∠O₂BC+∠CBA=90°
∴∠PCA=∠PBC
又∠P為公共角
∴△PAC∽△PCB
∴
即PC²=PA•PB．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定、以及比例式和等積式之間的轉換，難易程度適中．