【題目】已知,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,點O是邊AC的中點,連接OB,將△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α°至△ANM,連接CM,點P是線段CM的中點,連接PB,PN.
(1)如圖1,當α=180時,請直接寫出線段PN和PB之間滿足的位置和數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當0<α<180時,請?zhí)剿骶段PN和PB之間滿足何位置和數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論
(3)當△AOB旋轉(zhuǎn)至C,M,N三點共線時,線段BP的長為 .
【答案】(1)PB=PN,PB⊥PN,理由見解析;(2)PB=PN,PB⊥PN,理由見解析;(3)±.
【解析】
(1)如圖1中,結(jié)論:PB=PN,PB⊥PN.利用直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)以及圓周角定理解決問題即可.
(2)如圖2中,結(jié)論:PB=PN,PB⊥PN.延長BP到G,使得PG=PB,連接GM,GN,BN.想辦法證明△BNG是等腰直角三角形即可.
(3)分兩種情形:①如圖3﹣1中,連接BM.證明△ABM是等邊三角形,BP⊥CM即可解決問題.
②如圖3﹣2中,當C,N,M共線時,方法類似①.
解:(1)如圖1中,結(jié)論:PB=PN,PB⊥PN.
理由:當α=180°時,C,A,N共線,B,A,M共線,
∵∠CNM=∠CBM=90°,PC=PM,
∴PB=PC=PM=PN,
∴C,B,N,M四點共圓,
∴∠BPN=2∠BMN,
∵∠AMN=45°,
∴∠BPN=90°,
∴PB=PN,PB⊥PN.
(2)如圖2中,結(jié)論:PB=PN,PB⊥PN.
理由:延長BP到G,使得PG=PB,連接GM,GN,BN.
∵PC=PM,∠CPB=∠MPG,PB=PG,
∴△CPB≌△MPG(SAS),
∴BC=GM=AB,∠BCP=∠GMP=∠1+45°,
∴∠GMN=360°﹣∠GMP﹣∠2﹣∠AMN=360°﹣∠1﹣45°﹣∠2﹣45°=270°﹣∠1﹣∠2,
∵∠BAN=45°+∠CAM+45°=90°+(180°﹣∠1﹣∠2)=270°﹣∠1﹣∠2,
∴∠NMG=∠BAN,
∴AB=MG,AN=NM,
∴△BAN≌△GMN(SAS),
∴BN=GN,∠BNA=∠GNM,
∴∠BNG=∠ANM=90°,
∵PB=PG,
∴PN=PB=PG,PN⊥BG,
即PB=PN,PN⊥PB.
(3)①如圖3﹣1中,連接BM.
當C,M,N共線時,∵∠CNA=90°,AC=2AN,
∴∠ACN=30°,
∵∠NMA=∠MCA+∠MAC=45°,
∴∠CAM=15°,
∵∠MAB=∠VAM+∠OAB=60°,
∵AB=AM,
∴△ABM是等邊三角形,
∴BA=BM=BC,
∵PC=PM,
∴BP⊥CM,
∵AB=BC=4,
∴AC=4,
∴AN=OA=2,CN=AN=2,
∴CM=CN﹣MN=2﹣2,
∴PC=﹣,
∴PB=.
②如圖3﹣2中,當C,N,M共線時,同法可證∠ACN=30°,∠BAN=15°,∠BAM=60°,
∴△ABM是等邊三角形,
∴BM=BA=BC,
∵PC=PM,
∴BP⊥CM,
∴PB=,
綜上所述,滿足條件的BP的值為.
故答案為.
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【題目】八(2)班組織了一次經(jīng)典誦讀比賽,甲、乙兩隊各10人的比賽成績?nèi)缦卤恚?/span>10分制):
甲 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)甲隊成績的中位數(shù)是 分,乙隊成績的眾數(shù)是 分;
(2)計算乙隊的平均成績和方差;
(3)已知甲隊成績的方差是1.4,則成績較為整齊的是 隊.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的.連接BE、CF相交于點D.
(1)求證:BE=CF.
(2)當四邊形ACDE為菱形時,求BD的長.
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【題目】如圖,要設(shè)計一本書的封面,封面長27cm,寬21cm,正中央是一個與整個封面長寬比例相同的長方形,如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度(結(jié)果保留根號)?
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(﹣2,0),對稱軸為直線x=1.有以下結(jié)論:①abc>0;②7a+c<0;③a+b≤m(am+b)(m為任意實數(shù))④若A(x1,m),B(x2,m)是拋物線上的兩點,當x=x1+x2時,y=c;⑤若方程a(x+2)(4﹣x)=﹣1的兩根為x1,x2,且x1<x2,則﹣2≤x1<x2<4.其中正確結(jié)論的個數(shù)有( )
A.2個B.3個C.4個D.5個
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【題目】如圖,正方形ABCD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)到正方形AEFG,連接CF、DE、GB,若DE=6,GB=4,則五邊形AEFCD的面積為_____.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E為AB的中點,F為EC上一動點,P為DF中點,連接PB,則PB的最小值是( )
A.2B.4C.D.2
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【題目】如圖,已知P是⊙O外一點,PO交圓O于點C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度數(shù)為120°,連接PB.
(1)求BC的長;
(2)求證:PB是⊙O的切線.
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【題目】在如圖網(wǎng)格圖中,每個小正方形的邊長均為1個單位,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)試在圖中作出△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心,沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△AB1C1;
(2)若點B的坐標為(﹣3,5),試在圖中畫出直角坐標系,并直接寫出A、C兩點的坐標;
(3)根據(jù)(2)的坐標系作出與△ABC關(guān)于原點對稱的圖形△A2B2C2,并直接寫出點A2、B2、C2的坐標.
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