Question

【題目】如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點(diǎn)P在射線AC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PH⊥AB，垂足為H．
（1）直接寫出線段AD及⊙O半徑的長(zhǎng)；
（2）設(shè)PH=x，PC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)PH與⊙O相切時(shí)，求相應(yīng)的y值．

Answer 1

【答案】（1）r=1； AD=3

（2）y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=x+4（0≤x≤2.4）； y=x-4（x＞2.4）

（3）y=或y=1

【解析】（1）⊙O的半徑r=（AC+BC-AB）=（4+3-5）=1；
AD=3

（2）①如圖，若點(diǎn)P在線段AC上時(shí)．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，∵∠A=∠A，∴△AHP∽△ACB，

∴
∴即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=x+4（0≤x≤2.4）；

②同理，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，△AHP∽△ACB，
∴y=x-4，即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=x-4（x＞2.4）

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，如圖，P′H′與⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四邊形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四邊形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=x+4，解得，y=．（8分）
②當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，P″H″與⊙O相切．此時(shí)y=1（10分）