Question

如圖，D、E分別在正△ABC的邊BC和AC上，且AE=CD，連BE交AD于P，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AD于點(diǎn)Q．
（1）求證：BP=2PQ；
（2）若CP⊥BP，求證：AP=PQ．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）由條件可證得△BAE≌△ACD，可得出∠ABE=∠CAD，再結(jié)合外角的性質(zhì)，可得出∠PBQ=30°，再利用含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．
（2）通過(guò)作輔助線連AK（在BP上取BK=AP．連AK）來(lái)證明△ABK≌△CAP，然后求出∠AKP=∠KAP=30°，從而求得AP=PK．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，
在△BAE和△ACD中，

AE=CD ∠BAE=∠C AB=AC

，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQD=90°，
∴△BQP是直角三角形，
∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．

（2）證明：在BP上取BK=AP．連AK，
∵△ABE≌△CAD，
∴∠CAD=∠ABE，
在△ABK和△CAP中

AB=AC ∩ABK=∠CAP BK=AP

，
∴△ABK≌△CAP，
∴∠BAK=∠ACP，
∴∠AKP=∠CPE=90°-60°=30°，
又∠APB=120°，
∴∠AKP=∠KAP=30°，
∴AP=PK，
∴

AP

BP

=

1

2

，
∵BP=2PQ，
∴AP=PQ．

點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問(wèn)題的精神．