Question

【題目】如圖，點(diǎn)O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點(diǎn)C．

（1）求證：直線PB與⊙O相切；

（2）PO的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)E．若⊙O的半徑為3，PC=4．求弦CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）

【解析】試題（1）連接OC，作OD⊥PB于D點(diǎn)．證明OD=OC即可．根據(jù)角的平分線性質(zhì)易證；

（2）設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．根據(jù)勾股定理得PO=5，則PE=8．證明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根據(jù)勾股定理求解CE．

試題解析：（1）證明：連接OC，作OD⊥PB于D點(diǎn)．

∵⊙O與PA相切于點(diǎn)C， ∴OC⊥PA．

（2）解：設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．

∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．

∵⊙O與PA相切于點(diǎn)C， ∴∠PCF=∠E．

又∵∠CPF=∠EPC， ∴△PCF∽△PEC，

∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．

∵EF是直徑， ∴∠ECF=90°．

設(shè)CF=x，則EC=2x．

則x2+（2x）2=62， 解得x=．

則EC=2x=．