Question

某玩具由一個(gè)圓形區(qū)域和一個(gè)扇形區(qū)域組成．如圖，在⊙O₁和扇形O₂CD中，⊙O₁與O₂C、O₂D分別相切于點(diǎn)A、B.已知∠CO₂D＝60°，E、F是直線O₁O₂與⊙O₁、扇形O₂CD的兩個(gè)交點(diǎn)，且EF＝24 cm，⊙O₁的半徑為x cm.

(1)用含x的代數(shù)式表示扇形O₂CD的半徑；

(2)若⊙O₁和扇形O₂CD兩個(gè)區(qū)域的制作成本分別為0.45元/cm²和0.06元/cm²，當(dāng)⊙O₁的半徑為多少時(shí)，該玩具的制作成本最��？

Answer 1

 解：(1)連接O₁A.

∵⊙O₁與O₂C、O₂D分別相切于點(diǎn)A、B，

∴O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D，

∴∠AO₂O₁＝∠CO₂D＝30°.

在Rt△O₁AO₂中，sin∠AO₂O₁＝，

∴O₁O₂＝＝2x.(4分)

∴FO₂＝EF－EO₁－O₁O₂＝24－3x，即扇形O₂CD的半徑為(24－3x)cm.(6分)

(2)設(shè)該玩具的制作成本為y元，則

y＝0.45πx²＋0.06×

＝0.9πx²－7.2πx＋28.8π＝0.9π(x－4)²＋14.4π.(10分)

所以當(dāng)x－4＝0，即x＝4時(shí)，y的值最�。�

答：當(dāng)⊙O₁的半徑為4 cm，該玩具的制作成本最�。�(12分)