Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AMD=90°；②M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距離等于BC的一半；其中正確的有(     )

A．2個(gè)  B．3個(gè)   C．4個(gè)  D．5個(gè)

Answer 1

D【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．

【分析】過(guò)M作ME⊥AD于E，得出∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AMD，即可判斷①；根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MC=ME，ME=MB，即可判斷②和⑤；由勾股定理求出DC=DE，AB=AE，即可判斷③；根據(jù)SSS證△DEM≌△DCM，推出S_三角形DEM=S_三角形DCM，同理得出S_三角形AEM=S_三角形ABM，即可判斷④．

【解答】解：

過(guò)M作ME⊥AD于E，

∵∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，

∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，

∵DC∥AB，

∴∠CDA+∠BAD=180°，

∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，

∴∠AMD=180°﹣90°=90°，∴①正確；

∵DM平分∠CDE，∠C=90°（MC⊥DC），ME⊥DA，

∴MC=ME，

同理ME=MB，

∴MC=MB=ME=BC，∴②正確；

∴M到AD的距離等于BC的一半，∴⑤正確；

∵由勾股定理得：DC²=MD²﹣MC²，DE²=MD²﹣ME²，

又∵M(jìn)E=MC，MD=MD，

∴DC=DE，

同理AB=AE，

∴AD=AE+DE=AB+DC，∴③正確；

∵在△DEM和△DCM中

，

∴△DEM≌△DCM（SSS），

∴S_三角形DEM=S_三角形DCM

同理S_三角形AEM=S_三角形ABM，

∴S_三角形AMD=S_梯形ABCD，∴④正確；

故選D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)，垂直定義，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．