Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點，則下列結論：①∠AMD=90°；②M為BC的中點；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距離等于BC的一半；其中正確的有(     )

A．2個  B．3個   C．4個  D．5個

Answer 1

D【考點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．

【分析】過M作ME⊥AD于E，得出∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°，根據(jù)三角形內角和定理求出∠AMD，即可判斷①；根據(jù)角平分線性質求出MC=ME，ME=MB，即可判斷②和⑤；由勾股定理求出DC=DE，AB=AE，即可判斷③；根據(jù)SSS證△DEM≌△DCM，推出S_三角形DEM=S_三角形DCM，同理得出S_三角形AEM=S_三角形ABM，即可判斷④．

【解答】解：

過M作ME⊥AD于E，

∵∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點，

∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，

∵DC∥AB，

∴∠CDA+∠BAD=180°，

∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，

∴∠AMD=180°﹣90°=90°，∴①正確；

∵DM平分∠CDE，∠C=90°（MC⊥DC），ME⊥DA，

∴MC=ME，

同理ME=MB，

∴MC=MB=ME=BC，∴②正確；

∴M到AD的距離等于BC的一半，∴⑤正確；

∵由勾股定理得：DC²=MD²﹣MC²，DE²=MD²﹣ME²，

又∵ME=MC，MD=MD，

∴DC=DE，

同理AB=AE，

∴AD=AE+DE=AB+DC，∴③正確；

∵在△DEM和△DCM中

，

∴△DEM≌△DCM（SSS），

∴S_三角形DEM=S_三角形DCM

同理S_三角形AEM=S_三角形ABM，

∴S_三角形AMD=S_梯形ABCD，∴④正確；

故選D．

【點評】本題考查了角平分線性質，垂直定義，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性質和判定等知識點的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．