Question

如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：
①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；
②點(diǎn)O與O′的距離為4；
③∠AOB=150°；
④S_{四邊形AOBO′}=6+3

3

；
⑤S_△AOC+S_△AOB=6+

9

4

3

．
其中正確的結(jié)論是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；
由△OBO′是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；
在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AOO′是直角三角形；進(jìn)而求得∠AOB=150°，故結(jié)論③正確；
S四邊形AOBO′=S_△AOO′+S_△OBO′=6+4

3

，故結(jié)論④錯(cuò)誤；
如圖②，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將S_△AOC+S_△AOB轉(zhuǎn)化為S_△COO″+S_△AOO″，計(jì)算可得結(jié)論⑤正確．

解答：解：由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
在△BO′A和△BOC中，

OB=O′B ∠1=∠3 AB=BC

，
∴△BO′A≌△BOC（SAS），
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
故結(jié)論①正確；
如圖①，連接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等邊三角形，
∴OO′=OB=4．
故結(jié)論②正確；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故結(jié)論③正確；
S四邊形AOBO′=S_△AOO′+S_△OBO′=

1

2

×3×4+

3

×4²=6+4

3

，
故結(jié)論④錯(cuò)誤；
如圖②所示，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．
易知△AOO″是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△COO″是邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形，
則S_△AOC+S_△AOB=S_{四邊形AOCO″}=S_△COO″+S_△AOO″=

1

2

×3×4+

3

4

×3²=6+

9

4

，
故結(jié)論⑤正確．
綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤．
故答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的要點(diǎn)．在判定結(jié)論⑤時(shí)，將△AOB向不同方向旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了結(jié)論①-結(jié)論④解題思路的拓展應(yīng)用．