Question

在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD、AN．
（1）問(wèn)MB與CN的和是否為定值，若為定值請(qǐng)求出此值；
（2）當(dāng)AM的值為

 

時(shí)，四邊形ABCN為等腰梯形；
（3）當(dāng)（2）的條件下，△ADN以D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α度（0°＜α≤180°）．得到△A′DN′，問(wèn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形A′ABN′能否成為特殊的四邊形？若能請(qǐng)指出四邊形A′ABN′的形狀并寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)的角度．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）由菱形的性質(zhì)證明△NED≌△MEA就可以得出ND=AM，再運(yùn)用等量代換就可以得出結(jié)論；
（2）由等腰梯形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)就可以得出△ADN是正三角形，就可以求出AM=ND=AD求出結(jié)論；
（3）由等邊三角形的性質(zhì)就可以得出當(dāng)a=120°時(shí)，可以得出四邊形A′ABN′為矩形，由菱形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）MB與CN的和是定值．
理由：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=BC=CD=DA=2．
∴∠NDA∠DAB，∠DNE=∠AME．
∵點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，
∴AE=DE．
在△NED和△MEA中，

∠NDA∠DAB ∠DNE=∠AME DE=AE

，
∴△NED≌△MEA（AAS）
∴ND=AM．
∵M(jìn)B+CN=MB+ND+CD，
∴MB+CN=MB+CD+AM=CD+AB．
∴MB+CN=2+2=4；
（2）AM=2時(shí)，四邊形ABCN為等腰梯形．
理由：∵四邊形ABCN為等腰梯形，
∴AN=BC，AB∥CN．∠ANC=∠C，
∴∠ADN=∠DAB=60°．AN=AD．
∴△ADN為等邊三角形，
∴ND=AD=2，
∴AM=2．
故答案為：2；
（3）能成為特殊的四邊形是矩形．
理由：當(dāng)△ADN旋轉(zhuǎn)120°得到△A′DN′，
∴∠A′DA=120°，△A′DN′≌△ADN，
∴∠A′DN′=∠ADN=∠A′N′D=∠DA′N′=60°，
∴∠ADN′=180°，A′N′=AB，A′D=AD．
∴A′N′∥AB，∠DA′A=30°，
∴四邊形A′ABN′為平行四邊形，∠AA′N′=90°，
∴四邊形A′ABN′為矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰梯形的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的判定的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．