Question

將（n+1）個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形按如圖所示的方式排列，點(diǎn)A、A₁、A₂、A₃、…A_n+1和點(diǎn)M、M₁、M₂、M₃，…M_n是正方形的頂點(diǎn)，連結(jié)AM₁，A₁M₂，A₂M₃，…AM_n，分別交正方形的邊A₁M，A₂M₁，A₃M₂，…A_nM_n-1于點(diǎn)N₁，N₂，N₃，…，N_n，四邊形M₁N₁A₁A₂的面積為S₁，四邊形M₂N₂A₂A₃的面積是S₂，…四邊形M_nN_nA_nA_n+1的面積是S_n，則S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)題意得出：△M₁MN₁∽△M₁EA，進(jìn)而求出MN₁的長(zhǎng)，進(jìn)而得出S₁，同理得出S₂，進(jìn)而得出S_n的值．

解答：解：由題意可得出：△M₁MN₁∽△M₁EA，
則

MM1

EM1

=

MN1

AE

=

1

2

，
故MN₁=

1

2

，
故四邊形M₁N₁A₁A₂的面積為S₁=1-

1

2

×1×

1

2

=1-

1

4

=

3

4

；
同理可得出：

M1M2

EM2

=

M1N2

AE

=

1

3

，
故四邊形M₂N₂A₂A₃的面積是S₂=1-

1

2

×1×

1

3

=1-

1

6

=

5

6

，
則四邊形M_nN_nA_nA_n+1的面積是S_n=1-

1

2(n+1)

=

2n+1

2n+2

．
故答案為：

2n+1

2n+2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及數(shù)字變化規(guī)律，得出四邊形的面積變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．