Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

2

3

x+4分別交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，將△AOB沿直線y=kx-

9

4

k（k＞0）折疊，使B點(diǎn)落在y軸的C點(diǎn)處．

（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)D沿射線BA運(yùn)動(dòng)，連接OD，當(dāng)△CDB與△CDO面積相等時(shí)，求直線OD的解析式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)D在第一象限，沿x軸平移直線OD，分別交x，y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)M（m，3）和點(diǎn)P，使四邊形EFMP為正方形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線y=kx-

9

4

k交x軸、y軸于點(diǎn)E、F，求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，設(shè)BC與直線y=kx-

9

4

k交于點(diǎn)G，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，代入直線求出點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，再根據(jù)∠OBC和∠OFE的正切值相等列方程求解得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后求解即可；
（2）分①點(diǎn)D在第一象限時(shí)，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，然后代入直線解析式求出橫坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再寫出直線解析式即可；②點(diǎn)D在第二象限時(shí)，求出AC的長(zhǎng)，再設(shè)點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為a，根據(jù)S_△CDB=S_△ACD+S_△ABC列式整理，再根據(jù)△CDB與△CDO面積相等列出方程求出a，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再寫出直線OD的解析式即可；
（3）根據(jù)平行直線的解析式的k值相等設(shè)平移后的直線的解析式為y=2x+b，然后用b表示出OE、OF，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于N，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，△MNF、△FOE、△EQP是全等三角形，根據(jù)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得MN=OF=EQ，NF=OE=PQ，然后根據(jù)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3列出方程求出b值，再求出OE、OF，然后求出OQ、PQ，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）令x=0，則y=4，
令y=0，則-

2

3

x+4=0，
解得x=6，
所以，A（0，4），B（6，0），
設(shè)直線y=kx-

9

4

k交x軸、y軸于點(diǎn)E、F，
則E（

9

4

，0），F(xiàn)（0，-

9

4

k），
設(shè)BC與直線y=kx-

9

4

k交于點(diǎn)G，
則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為

0+6

2

=3，
代入直線y=-

2

3

x+4得，點(diǎn)G的縱坐標(biāo)y=

3

4

k，
∵∠OBC+∠OCB=∠OFE+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠OFE，
∵tan∠OBC=

3 4 k

6-3

=

1

4

k，tan∠OFE=

OE

OF

=

9 4

9 4 k

=

1

k

，
∴

1

4

k=

1

k

，
解得k=2，k=-2（舍去），
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，

3

2

），
∵點(diǎn)B、C關(guān)于 點(diǎn)G對(duì)稱，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）①點(diǎn)D在第一象限時(shí)，
∵△CDB與△CDO面積相等，
∴CD∥OB，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，
當(dāng)y=3時(shí)，-

2

3

×x+4=3，
解得x=

3

2

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，3），
∴直線OD的解析式為y=2x；
②點(diǎn)D在第二象限時(shí)，AC=4-3=1，
設(shè)點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為a，
則S_△CDB=S_△ACD+S_△ABC
=

1

2

×1•a+

1

2

×1×6
=

1

2

a+3，
∵△CDB與△CDO面積相等，
∴

1

2

a+3=

1

2

×3a，
解得a=3，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-3，
當(dāng)x=-3時(shí)，y=-

2

3

×（-3）+4=2+4=6，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，6），
∴直線OD的解析式為y=-2x；

（3）設(shè)OD平移后的解析式為y=2x+b，
令y=0，則2x+b=0，
解得x=-

b

2

，
令x=0，則y=b，
所以，OE=

b

2

，OF=b，
過點(diǎn)M作MN⊥y軸于N，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，
∵四邊形EFMP是正方形，
∴易證△MNF≌△FOE≌△EQP，
∴MN=OF=EQ，NF=OE=PQ，
∵M(jìn)（m，3），
∴ON=b+

b

2

=3，
解得b=2，
∴OE=1，OF=2，
∴OQ=OE+QE=1+2=3，
∴點(diǎn)M（-2，3），點(diǎn)P（-3，1），
故，存在點(diǎn)M（-2，3）和點(diǎn)P（-3，1），使四邊形EFMP為正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，軸對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，三角形的面積，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（1）根據(jù)等角的正切列出方程，（2）根據(jù)點(diǎn)D的位置分情況討論，（3）作輔助線構(gòu)造出全等三角形并根據(jù)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)列出方程．