Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC=6

3

，BD=3．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）求BC的長(zhǎng)及△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：射影定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）先利用射影定理得到AC²=AD•AB，即（6

3

）²=AD•（AD+3），再解方程得到AD=9，然后根據(jù)正弦的定義求∠A；
（2）先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求BC，然后根據(jù)三角形面積公式求△ABC的面積．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴AC²=AD•AB，即（6

3

）²=AD•（AD+3），
整理得AD²+3AD-108=0，解得AD=9或AD=-12（舍去），
在Rt△ACD中，∵cosA=

AD

AC

=

9

6 3

=

3

2

，
∴∠A=30°；
（2）∵AB=AD+BD=9+3=12，
而∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=6，
∴S_△ABC=

1

2

•AC•BC=

1

2

•6

3

•6=18

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．