Question

如圖，在正五邊形ABCDE中，對角線AC，BE相交于點F，F(xiàn)是線段BE、AC的黃金分割線嗎？為什么？

Answer 1

考點：黃金分割

專題：常規(guī)題型

分析：根據(jù)正五邊形的性質得到∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，則利用三角形內角和和等腰三角形的性質計算出∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，易得∠CBF=72°，∠CFB=72°，所以CB=CF，再證明△ABF∽△ACB，則AB：AC=AF：AB，所以CF：AC=AF：CF，根據(jù)黃金分割的定義得到點F是線段AC的黃金分割點，用同樣的方法可得F是線段BE的黃金分割點．

解答：解：F是線段BE、AC的黃金分割點．理由如下：
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠ABC=∠BAE=108°，AB=BC=AE，
∴∠BAC=∠BCA=36°，∠ABE=∠AEB=36°，
∴∠CBF=72°，∠CFB=72°，
∴CB=CF，
∵∠ABF=∠ACB=36°，
∴△ABF∽△ACB，
∴AB：AC=AF：AB，
∴CF：AC=AF：CF，
∴點F是線段AC的黃金分割點，
同理可得F是線段BE的黃金分割點．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比．也考查了正五邊形的性質．