Question

已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，
（1）如圖1，若AE⊥BF，求證：EA=FB；
（2）如圖2，若∠EAF=45°，AE的長(zhǎng)為

5

2

，試求AF的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，進(jìn)而得到∠BAE=∠CBF，則△ABE≌△BCF，進(jìn)一步根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明；
（2）延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G，使BG=DF，并連接AG和EF，先證△ABG≌△ADF（SAS），再證△AEG≌△AEF（SAS）；在RT△ABE中，根據(jù)勾股定理可求得BE=

1

2

，設(shè)線段DF長(zhǎng)為x，則EF=GE=x+

1

2

，又CE=1-

1

2

=

1

2

，CF=1-x，最終在RT△ECF中，利用勾股定理得(

1

2

+x)2=

1

4

+(1-x)2，求得x=

1

3

，在Rt△ADF中，解得AF=

1+x2

=

10

3

．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，

∠ABC=∠C ∠BAE=∠CBF AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF；
（2）如圖，

延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G，使BG=DF，并連接AG和EF，
在△ABG和△ADF中，

AB=AD ∠ABC=∠D=90° GB=DF

∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠GAB=∠DAF
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠GAB=∠GAE=45°，
∴∠EAF=∠GAE
在△AEG和△AEF中，

AG=AF ∠EAG=∠EAF AE=AE

∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴GE=EF；
在RT△ABE中，根據(jù)勾股定理得BE=

AE2-AB2

=

1

2

，
設(shè)線段DF長(zhǎng)為x，則EF=GE=x+

1

2

，又CE=1-

1

2

=

1

2

，CF=1-x，
在RT△ECF中，由勾股定理得EF²=CE²+CF²
即(

1

2

+x)2=

1

4

+(1-x)2，
解得x=

1

3

，
在Rt△ADF中，由勾股定理得AF=

1+x2

=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，注意問題的轉(zhuǎn)化，巧作輔助線解決問題．