Question

以一底角為67.5°的等腰梯形的一腰BC為直徑作圓，交大底于E，且恰與另一腰AD相切于M，則=________．

Answer 1

分析：連OM，OE，ME，由AD為⊙O的切線，得到OM⊥AD，而四邊形ABCD為等腰梯形，且∠ABC=67.5°，則∠OEB=∠OBA=∠A=67.5°，得到OE∥AD，有OE⊥OM，得到△OEM為等腰直角三角形；設(shè)OE=R，則ME=R，然后證明△OBE∽△MEB，利用相似比即可得到答案．
解答：解：連OM，OE，ME，如圖，
∵AD為⊙O的切線，
∴OM⊥AD，
又∵四邊形ABCD為等腰梯形，且∠ABC=67.5°，
而OE=OB，
∴∠OEB=∠OBA=∠A=67.5°，
∴OE∥AD，
∴OE⊥OM，
∴△OEM為等腰直角三角形，
設(shè)OE=R，則ME=R，
又∵∠BOE=180°-67.5°-67.5°=45°，
∠EMA=90°-45°=45°，
∴△OBE∽△MEA，
∴===．
故答案為：．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓心與切點的連線垂直切線；過圓心垂直于切線的直線必過切點；過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等．也考查了等腰梯形和切線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．