Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠C=2∠E．若∠E=30°，EC=12，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠BDC=∠E=30°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ADC=2∠BDC，然后求出∠C=60°，∠CBD=90°，再求出AB=AD，判斷出四邊形AEDB是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AB=DE，再根據(jù)EC的長(zhǎng)度求出CD，然后解直角三角形求出CD邊上的高，再根據(jù)梯形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：∵AE∥BD，
∴∠BDC=∠E=30°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠BDC=2×30°=60°，
在等腰梯形ABCD中，∠C=∠ADC=60°，
∴∠CBD=90°，
∴CD=2BC，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∵AB∥DC，AE∥BD，
∴四邊形AEDB是平行四邊形，
∴AB=DE，
∴AB=DE=AD=BC，
∵EC=12，
∴DE+BC=DE+2DE=3DE=12，
解得DE=4，
BC=2DE=2×4=8，
點(diǎn)B到CD的距離為=BC×

3

2

=4×

3

2

=2

3

，
所以，梯形ABCD的面積=

1

2

×（4+8）×2

3

=12

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，解直角三角形，關(guān)鍵在于求出ED、DC的長(zhǎng)度．