Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為反比例函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為1，將的圖象繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．

（1）求旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式；
（2）求、點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）連結(jié)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，試探究：是否存在使為等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式為． 
（2）由旋轉(zhuǎn)可得（4，-1）、（1，-4）． 
（3）依題意，可知．若為直角三角形，則同時(shí)也是等腰三角形，因此，只需求使為直角三角形的值．
分兩種情況討論：
① 當(dāng)是直角，時(shí)，如圖1，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N(xiāo)=MN=t，
∴B′M=8-t，
∵，
∴．
解得 （舍去負(fù)值），
∴． 
②當(dāng)是直角，時(shí)，
如圖2，
∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N(xiāo)=t，
∴B′M=MN=8-t，
∵，
∴，
解得 ．
∵，，
∴此時(shí)t值不存在． 
（此類(lèi)情況不計(jì)算，通過(guò)畫(huà)圖說(shuō)明t值不存在也可以）
綜上所述，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形．

（1）首先把x=1代入反比例函數(shù)y=（x＞0）的解析式，求出對(duì)應(yīng)的y值，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠AOA′=90°，OA=OA′，如果分別過(guò)A、A′作AM⊥y軸于M，A′N(xiāo)⊥x軸于N，連接OA，OA′，易證△OAM≌△OA′N(xiāo)，得到A′的坐標(biāo)，從而求出旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式；
（2）上問(wèn)已經(jīng)求出A′的坐標(biāo)，同樣求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
（3）首先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)A′B′的解析式，由斜率k的值可知∠A′B′A=45°．然后假設(shè)存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值，那么分兩種情況討論：①∠B′N(xiāo)M=90°；②∠B′MN=90°．針對(duì)每一種情況，都可以利用等腰直角三角形中斜邊是直角邊的倍列出方程，從而求出結(jié)果．