Question

某工廠生產(chǎn)一種矩形材料板，其長(zhǎng)寬之比為3：2．每張材料板的成本c（單位：元）與它的面積（單位：cm²）成正比例，每張材料板的銷售價(jià)格y（單位：元）與其寬x之間滿足我們學(xué)習(xí)過(guò)的三種函數(shù)（即一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)）關(guān)系中的一種．下表記錄了該工廠生產(chǎn)、銷售該材料板一些數(shù)據(jù)．

材料板的寬x （單位：cm）	24	30	42	54
成本c （單位：元）	96	150	294	486
銷售價(jià)格y （單位：元）	780	900	1140	1380

（1）求一張材料板的銷售價(jià)格y與其寬x之間的函數(shù)關(guān)系式，不要求寫出自變量的取值范圍；
（2）若一張材料板的利潤(rùn)w為銷售價(jià)格y與成本c的差．
①請(qǐng)直接寫出一張材料板的利潤(rùn)w與其寬x之間的函數(shù)關(guān)系，不要求寫出自變量的取值范圍；
②當(dāng)材料板的寬為多少時(shí)，一張材料板的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)圖表可知所有點(diǎn)在一條直線上，故是一次函數(shù)；
（2）①因?yàn)殚L(zhǎng)寬之比為3：2，當(dāng)寬為x時(shí)，則長(zhǎng)為1.5x，根據(jù)矩形的面積公式可得x和y的關(guān)系進(jìn)而得到c和x的關(guān)系，所以一張材料板的利潤(rùn)w與其寬x之間的函數(shù)關(guān)系可求出；②利用①中的函數(shù)性質(zhì)即可求出當(dāng)材料板的寬為多少時(shí)，一張材料板的利潤(rùn)最大，以及最大利潤(rùn)是多少．

解答：解：（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)判斷，銷售價(jià)格y于寬x之間的函數(shù)關(guān)系不是反比例函數(shù)關(guān)系，
假設(shè)是一次函數(shù)，設(shè)其解析式為y=kx+b，
則24k+b=780，30k+b=900，
解得：k=20，b=300，
將x=42，y=1140和x=54，y=1380代入檢驗(yàn)，滿足條件
所以其解析式為y=20x+300；

（2）①∵矩形材料板，其長(zhǎng)寬之比為3：2，
∴當(dāng)寬為x時(shí)，則長(zhǎng)為1.5x，
∴w=-

1

6

x²+20x+300；
②由①可知：w=-

1

6

x²+20x+300=-

1

6

（x-60）²+900，
∴當(dāng)材料板的寬為60cm時(shí)，一張材料板的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是900元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤(rùn)的問(wèn)題常利函數(shù)的增減性來(lái)解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x=-

b

2a

時(shí)取得．