【題目】已知兩直線l1 , l2分別經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)B(﹣3,0),并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于y正半軸的點(diǎn)C時(shí),恰好有l(wèi)1⊥l2 , 經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的對(duì)稱軸與直線l1交于點(diǎn)K,如圖所示.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo),并求出拋物線的函數(shù)解析式;
(2)拋物線的對(duì)稱軸被直線l1 , 拋物線,直線l2和x軸依次截得三條線段,問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)直線l2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí),與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M,請(qǐng)找出使△MCK為等腰三角形的點(diǎn)M,簡(jiǎn)述理由,并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:解法1:∵l1⊥l2,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠BCO=90°,
又∠ACO+∠CAO=90°,
∴∠BCO=∠CAO,又∠COA=∠BOC=90°
∴△BOC∽△COA,
∴ ,
即 ,
∴ ,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0, ),
由題意,可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為 ,
把A(1,0),B(﹣3,0)的坐標(biāo)分別代入 ,
得 ,
解這個(gè)方程組,得 ,
∴拋物線的函數(shù)解析式為 .
解法2:由勾股定理,得(OC2+OB2)+(OC2+OA2)=BC2+AC2=AB2,
又∵OB=3,OA=1,AB=4,
∴ ,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0, ),
由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a(x﹣1)(x+3),把C(0, )代入
函數(shù)解析式得 ,
所以,拋物線的函數(shù)解析式為 =
(2)
解:解法1:截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF.
理由如下:
設(shè)直線l1的解析式為y=kx+b,把A(1,0),C(0, ),代入解析式,
解得k=﹣ ,b= ,
所以直線l1的解析式為 ,
同理可得直線l2的解析式為 ,
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,
由此可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)為(﹣1,2 ),
點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1, ),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1, ),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣1,0),
∴KD= ,DE= ,EF= ,
∴KD=DE=EF.
解法2:截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF,
理由如下:
由題意可知Rt△ABC中,∠ABC=30°,∠CAB=60°,
則可得 , ,
由頂點(diǎn)D坐標(biāo)(﹣1, )得 ,
∴KD=DE=EF= ;
(3)
解:當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(﹣2, ),(﹣1, )時(shí),△MCK為等腰三角形.
理由如下:
(i)連接BK,交拋物線于點(diǎn)G,
∵F(﹣1,0),直線l1的解析式為 ,
∴K(﹣1,2 ),
∵B(﹣3,0),
∴直線BK的解析式為:y= x+3 ①,
∵拋物線的函數(shù)解析式為y═ ②;
聯(lián)立即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)為(﹣2, ),
又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, ),則GC∥AB,
∵可求得AB=BK=4,且∠ABK=60°,即△ABK為正三角形,
∴△CGK為正三角形
∴當(dāng)l2與拋物線交于點(diǎn)G,即l2∥AB時(shí),符合題意,此時(shí)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(﹣2, ),
(ii)連接CD,由KD= ,CK=CG=2,∠CKD=30°,易知△KDC為等腰三角形,
∴當(dāng)l2過拋物線頂點(diǎn)D時(shí),符合題意,此時(shí)點(diǎn)M2坐標(biāo)為(﹣1, ),
(iii)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí),只有點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí),滿足CM=CK,
但點(diǎn)A、C、K在同一直線上,不能構(gòu)成三角形,
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(﹣2, ),(﹣1, )時(shí),△MCK為等腰三角形.
【解析】(1)利用△BOC∽△COA,得出C點(diǎn)坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可;(2)可求得直線l1的解析式為 ,直線l2的解析式為 ,進(jìn)而得出D,E,F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出,三條線段數(shù)量關(guān)系;(3)利用等邊三角形的判定方法得出△ABK為正三角形,以及易知△KDC為等腰三角形,進(jìn)而得出△MCK為等腰三角形時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo).
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【題目】如圖,△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,連接DE.
(1)求證:△BDE≌△BCE;
(2)試判斷四邊形ABED的形狀,并說明理由.
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【題目】在△ABC中,點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)(與B,C兩點(diǎn)不重合),過點(diǎn)D作DE∥AC,DF∥AB,分別交AB,AC于E,F(xiàn)兩點(diǎn),下列說法正確的是( 。
A. 若AD⊥BC,則四邊形AEDF是矩形
B. 若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形
C. 若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形
D. 若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中小方格邊長(zhǎng)為1,請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的知識(shí)解決下面問題.
(1)求網(wǎng)格圖中△ABC的面積.
(2)判斷△ABC是什么形狀?并所明理由.
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【題目】研究問題:一個(gè)不透明的盒中裝有若干個(gè)只有顏色不一樣的紅球與黃球,怎樣估算不同顏色球的數(shù)量? 操作方法:先從盒中摸出8個(gè)球,畫上記號(hào)放回盒中,再進(jìn)行摸球?qū)嶒?yàn),摸球?qū)嶒?yàn)的要求:先攪拌均勻,每次摸出一個(gè)球,放回盒中,再繼續(xù).
活動(dòng)結(jié)果:摸球?qū)嶒?yàn)活動(dòng)一共做了50次,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:
球的顏色 | 無記號(hào) | 有記號(hào) | ||
紅色 | 黃色 | 紅色 | 黃色 | |
摸到的次數(shù) | 18 | 28 | 2 | 2 |
推測(cè)計(jì)算:由上述的摸球?qū)嶒?yàn)可推算:
(1)盒中紅球、黃球各占總球數(shù)的百分比分別是多少?
(2)盒中有紅球多少個(gè)?
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【題目】如圖是工人師傅用同一種材料制成的金屬框架,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周長(zhǎng)為24cm,CF=3cm,則制成整個(gè)金屬框架所需這種材料的總長(zhǎng)度為 ________cm.
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【題目】如圖,△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分線,它們相交于點(diǎn)O,∠CAB=500,∠C=600,求∠DAE和∠BOA的度數(shù)。
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【題目】如圖,在ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn),BD是對(duì)角線,過點(diǎn)A作AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)求證:DE∥BF;
(2)若∠G=90°,求證:四邊形DEBF是菱形.
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