Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，AC為對角線，AB=6，BC=8，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)M出發(fā)，點(diǎn)P沿射線MA向右運(yùn)動；點(diǎn)Q沿線段MD先向左運(yùn)動至點(diǎn)D后，再向右運(yùn)動到點(diǎn)M停止，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動．P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動的速度均為每秒1個(gè)單位．以PQ為一邊向上作正方形PRLQ．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（秒），正方形PRLQ與△ABC重疊部分的面積為S．

（1）當(dāng)點(diǎn)R在線段AC上時(shí)，求出t的值．

（2）求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出取值范圍．（求函數(shù)關(guān)系式時(shí)，只須寫出重疊部分為三角形時(shí)的詳細(xì)過程，其余情況直接寫出函數(shù)關(guān)系式．）

（3）在點(diǎn)P、點(diǎn)Q運(yùn)動的同時(shí)，有一點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位的速度從C向B運(yùn)動，當(dāng)t為何值時(shí)，△LRE是等腰三角形．請直接寫出t的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）t=；

（2）S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：．

（3）t的取值范圍是4≤t≤8時(shí)，△LRE是等腰三角形；當(dāng)t=4s，或t=8s或s或s時(shí)，△LRE是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形相似可得，即，解答即可；

（2）根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動情況分情況討論解答即可；

（3）根據(jù)△LRE是等腰三角形滿足的條件．

試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)R在線段AC上時(shí)，應(yīng)該滿足：，

設(shè)MP為t，則PR=2t，AP=4﹣t，

∴可得：，即，

解得：t=；

（2）當(dāng)時(shí)，正方形PRLQ與△ABC沒有重疊部分，所以重疊部分的面積為0；

當(dāng)時(shí)，正方形PRLQ與△ABC重疊部分的面積為直角三角形KRW的面積=，

；

當(dāng)時(shí)，正方形PRLQ與△ABC重疊部分的面積=×（2t﹣3）2t=2t2﹣3t．

當(dāng)3＜t≤4時(shí)，正方形PRLQ與△ABC重疊部分的面積=×（12﹣2t）×2t=﹣2t2+12t．

當(dāng)4＜t≤8時(shí)，正方形PRLQ與△ABC重疊部分的面積為S=；

綜上所述S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：．

（3）在點(diǎn)P、點(diǎn)Q運(yùn)動的同時(shí)，有一點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位的速度從C向B運(yùn)動，

①當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在LR的中垂線線上時(shí)，EL=ER．此時(shí)t=4s，△LRE是等腰三角形；

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E在LR的中垂線線上時(shí)，EL=ER．此時(shí)t=8s，△LRE是等腰三角形；

綜上所述，t的取值范圍是4≤t≤8；

②當(dāng)EL=LR時(shí)，如圖所示：

LR=2t，CF=NL=4﹣t，則EF=2t﹣4．FL=CN=6﹣2t，

則在直角△EFL中，由勾股定理得到：EL2=EF2+FL2=（2t﹣4）2+（6﹣2t）2．

故由EL=LR得到：EL2=LR2，即4t2=10t2﹣40t+52，

整理，得

t2﹣10t+13=0，

解得 t1=5+2（舍去），t2=5﹣2．

所以當(dāng)t=5﹣2（s）時(shí)，△LRE是等腰三角形；

同理，當(dāng)ER=LR時(shí)，．

綜上所述，t的取值范圍是4≤t≤8時(shí)，△LRE是等腰三角形；當(dāng)t=4s，或t=8s或s或s時(shí)，△LRE是等腰三角形．

考點(diǎn);四邊形綜合題．