【題目】如圖,已知直線l1∥l2,直線l3和直線l1,l2交于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)P在直線CD上.
(1)試寫出圖1中∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系,并說明理由;
(2)如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動時,∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系會發(fā)生變化嗎?
答: (填發(fā)生或不發(fā)生)
(3)若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動時(P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合),如圖2,圖3,試分別寫出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關(guān)系,并說明理由.
【答案】見試題解析
【解析】
試題(1)過點(diǎn)P作PE∥l1,∠APE=∠PAC,又因為l1∥l2,所以PE∥l2,所以∠BPE=∠PBD,兩個等式相加即可得出結(jié)論。(2)不發(fā)生(3)若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動時(P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合),則有兩種情形:①如圖1,有結(jié)論:∠APB=∠PBD-∠PAC. 理由如下:
過點(diǎn)P作PE∥l1,則∠APE=∠PAC,又因為l1∥l2,所以PE∥l2,所以∠BPE=∠PBD,
所以可得出結(jié)論∠APB=∠PBD-∠PAC.。
②如圖2,有結(jié)論:∠APB=∠PAC-∠PBD. 理由如下:過點(diǎn)P作PE∥l2,則∠BPE=∠PBD,
又因為l1∥l2,所以PE∥l1,所以∠APE=∠PAC,所以可得結(jié)論∠APB=∠PAC-∠PBD.
試題解析:解:(1)∠APB=∠PAC+∠PBD. 理由如下:
過點(diǎn)P作PE∥l1,
則∠APE=∠PAC,
又因為l1∥l2,所以PE∥l2,所以∠BPE=∠PBD,
所以∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD,
即∠APB=∠PAC+∠PBD.
(2)若P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動時∠APB=∠PAC+∠PBD這種關(guān)系不變.
(3)若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動時(P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合),則有兩種情形:
①如圖1,有結(jié)論:∠APB=∠PBD-∠PAC. 理由如下:
過點(diǎn)P作PE∥l1,則∠APE=∠PAC,
又因為l1∥l2,所以PE∥l2,所以∠BPE=∠PBD,
所以∠APB=∠BPE-∠APE,即∠APB=∠PBD-∠PAC.
②如圖2,有結(jié)論:∠APB=∠PAC-∠PBD. 理由如下:
過點(diǎn)P作PE∥l2,則∠BPE=∠PBD,
又因為l1∥l2,所以PE∥l1,所以∠APE=∠PAC,
所以∠APB=∠APE-∠BPE,即∠APB=∠PAC-∠PBD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AE交⊙O于點(diǎn)F,且與⊙O的切線CD互相垂直,垂足為D.
(1)求證:∠EAC=∠CAB;
(2)若CD=4,AD=8,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動會將于2022年在北京市和張家口市舉行.為了調(diào)查學(xué)生對冬奧知識的了解情況,從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)知識測試,獲得了他們的成績(百分制),并對數(shù)據(jù)(成績)進(jìn)行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
a.甲校20名學(xué)生成績的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖如下:
甲校學(xué)生樣本成績頻數(shù)分布表
成績m(分) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
1 | 0.05 | |
c | 0.10 | |
3 | 0.15 | |
a | b | |
6 | 0.30 | |
合計 | 20 | 1.0 |
表1
圖1
b.甲校成績在的這一組的具體成績是:81 81 89 83 89 82 83 89
c.甲、乙兩校成績的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下:
學(xué)校 | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
甲 | 84 | n | 89 | 129.7 |
乙 | 84.2 | 85 | 85 | 138.6 |
表2
根據(jù)以上圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)表1中a=______;表2中的中位數(shù)n =_______;
(2)補(bǔ)全圖1甲校學(xué)生樣本成績頻數(shù)分布直方圖;
(3)在此次測試中,某學(xué)生的成績是84分,在他所屬學(xué)校排在前10名,由表中數(shù)據(jù)可知該學(xué)生是______校的學(xué)生(填“甲”或“乙”),理由是________;
(4)假設(shè)甲校1000名學(xué)生都參加此次測試,若成績80分及以上為優(yōu)秀,估計成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為_______人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有這樣一個問題:探究函數(shù)的圖象與性質(zhì).小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小華的探究過程,請補(bǔ)充完整:
(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是___________;
(2)下表是y與x的幾組對應(yīng)值.m的值為_______;
x | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | ||||
y | 0 | m | 1 | … |
(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn).根據(jù)描出的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;
(4)結(jié)合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì):____________.
(5)結(jié)合函數(shù)圖象估計的解的個數(shù)為_______個.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1 ,在矩形紙片中, ,折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處,折痕為,過點(diǎn)作交于,連接
求證:四邊形為菱形;
當(dāng)點(diǎn)在邊上移動時,折痕的端點(diǎn)也隨之移動,若限定分別在邊.上移動,求出點(diǎn)在邊上移動的最大距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在下列的網(wǎng)格圖中.每個小正方形的邊長均為1個單位,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)試在圖中作出△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心,沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△AB1C1;
(2)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,5),試在圖中畫出直角坐標(biāo)系,并標(biāo)出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)根據(jù)(2)中的坐標(biāo)系作出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖形△A2B2C2,并標(biāo)出B2、C2兩點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1.
(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)時,求二次函數(shù)的解析式;
(2)如圖,當(dāng)m=2時,該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,x軸上是否存在一點(diǎn)P,使得PC+PD最短?若P點(diǎn)存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若P點(diǎn)不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知直線PQ∥MN,點(diǎn)A在直線PQ上,點(diǎn)C、D在直線MN上,連接AC、AD,∠PAC=50°,∠ADC=30°,AE平分∠PAD,CE平分∠ACD,AE與CE相交于E.
(1)求∠AEC的度數(shù);
(2)若將圖1中的線段AD沿MN向右平移到A1D1如圖2所示位置,此時A1E平分∠AA1D1,CE平分∠ACD1,A1E與CE相交于E,∠PAC=50°,∠A1D1C=30°,求∠A1EC的度數(shù).
(3)若將圖1中的線段AD沿MN向左平移到A1D1如圖3所示位置,其他條件與(2)相同,求此時∠A1EC的度數(shù).
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