Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點E在線段AB上，CF⊥CE，CF=CE，EF交AC于G，連接AF．
（1）填空：線段BE、AF的數(shù)量關(guān)系為

 

，位置關(guān)系為

 

；
（2）若當

BE

AE

=

1

2

時，求證：

EG

FG

=2．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：常規(guī)題型

分析：（1）可以求證△ACF≌△BCE，根據(jù)全等三角形對應角、對應邊相等的性質(zhì)即可解題；
（2）作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出GM=GN，根據(jù)S_△AEG=2S_△AFG，即證

EG

FG

=2．

解答：（1）解：∵CF⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠FCA+∠ACE=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠FCA=∠ECB，
在△ACF和△BCE中，

CF=CE ∠FCA=∠ECB AC=BC

，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴BE=AF，∠FAC=∠EBC，
∵∠EBC+∠CAE=90°，
∴∠FAC+∠CAE=90°
（2）證明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，

∵△ACF可由△BCE繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°而得到，
∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．
∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，
∴GM=GN．
∴S_△AEG=2S_△AFG，
∴EG=2GF，
∴

EG

FG

=2．

點評：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能夠從特殊推廣到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律．