Question

如圖1，直線L：y=kx+5k與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)OA=OB時(shí)，試確定直線L的解析式；
（2）在（1）的條件下，如圖2，設(shè)Q為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，作直線OQ，過A、B兩點(diǎn)分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)k取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以O(shè)B、AB為邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點(diǎn)．問：當(dāng)點(diǎn)B在　y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想△ABP的面積是否為改變？若是，說明理由．
（4）當(dāng)k取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，以AB為邊，在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABE，則動(dòng)點(diǎn)E在直線

 

上運(yùn)動(dòng)．（直接寫出直線的表達(dá)式）

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由直線L解析式，求出A與B坐標(biāo)，根據(jù)OA=OB，求出m的值，即可確定出直線L解析式；
（2）由OA=OB，對(duì)頂角相等，且一對(duì)直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用對(duì)應(yīng)線段相等求長(zhǎng)度，然后過點(diǎn)M作MH⊥OA，易得△OMH∽△OAM，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖，作EK⊥y軸于K點(diǎn)，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，尋找相等線段，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求得PB的長(zhǎng)，繼而求得△ABP的面積；
（4）由（3）可得OA=BK=5，EK=OB=5k，則可得OK=OB+BK=5k+5，即可得點(diǎn)E（-5k，5k+5），繼而可知?jiǎng)狱c(diǎn)E在直線y=-x+5上運(yùn)動(dòng)．

解答：解：（1）∵直線L：y=kx+5k與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（-5，0），B（0，5k），
由OA=OB，得5k=5，k=1，
∴直線解析式為：y=x+5；

（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
在△AMO與△ONB中，

∠OAM=∠BON ∠AMO=∠BNO OA=OB

，
∴△AMO≌△ONB（AAS），
∴AM=ON=4，
∴BN=OM=3，
過點(diǎn)M作MH⊥OA，
則△OMH∽△OAM，
∴

OH

OM

=

OM

OA

=

MH

AM

，
∴

OH

3

=

3

5

=

MH

4

，
解得：OH=

9

5

，MH=

12

5

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（-

9

5

，-

12

5

）；

（3）△ABP的面積不改變．
理由：如圖，作EK⊥y軸于K點(diǎn)，
∵△ABE為等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠EBK+∠ABO=90°，
∵∠EBK+∠BEK=90°，
∴∠ABO=∠BEK，
在△AOB和△BKE中，

∠BKE=∠AOB=90° ∠ABO=∠BEK AB=BE

，
∴△AOB≌△BKE（AAS），
∴OA=BK，EK=OB，
∵△OBF為等腰直角三角形，
∴OB=BF，
∴EK=BF，
在△EKP和△FBP中，

∠EKP=∠PBF=90° ∠KPE=∠BPF EK=FB

，
∴△PBF≌△PKE（AAS），
∴PK=PB，
∴PB=

1

2

BK=

1

2

OA=

5

2

，
∴S_△ABP=

1

2

BP•OA=

1

2

×

5

2

×5=

25

4

；

（4）如圖3，∵A（-5，0），B（0，5k），
∴OA=BK=5，EK=OB=5k，
∴OK=OB+BK=5k+5，
∴點(diǎn)E（-5k，5k+5），
∵動(dòng)點(diǎn)E在直線y=-x+5上運(yùn)動(dòng)．
故答案為：y=-x+5．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．