【題目】如圖,將矩形ABCD沿對角線BD折疊,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′,連接CC′交AD于點(diǎn)F,BC′與AD交于點(diǎn)E.
(1)求證:△BAE≌△DC′E;
(2)寫出AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若CD=2DF=4,求矩形ABCD的面積.
【答案】(1)見解析;(2)AE=EF,見解析;(3)S矩形ABCD=32.
【解析】
(1)根據(jù)AAS證明△BAE≌△DC′E即可.
(2)證明AE=EC′,EC′=EF即可.
(3)證明△CDF∽△BCD,再利用相似三角形的性質(zhì)求出BC即可解決問題.
解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠A=∠BCD=90°
由翻折的性質(zhì)可知:CD=C′D,∠BCD=∠BC′D=90°,
∴∠A=∠DC′E=90°,AB=C′D,
∵∠AEB=∠DEC′,
∴△BAE≌△DC′E(AAS).
(2)解:結(jié)論:AE=EF.
理由:∵△BAE≌△DC′E,
∴AE=EC′,
∵BC=BC′,
∴∠BCC′=∠BC′C,
∵EF∥BC,
∴∠EFC′=∠BCC′,
∴∠EC′F=∠EFC′,
∴EF=EC′,
∴AE=EF.
(3)解:由翻折可知:BD⊥CC′,
∴∠FCD+∠BDC=90°,∠BDC+∠CBD=90°,
∴∠FCD=∠CBD,
∵∠CDF=∠BCD=90°,
∴△CDF∽△BCD,
∴,
∴,
∴BC=8,
∴S矩形ABCD=BCCD=32.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】感知:如圖(1),已知正方形ABCD和等腰直角△EBF,點(diǎn)E在正方形BC邊上,點(diǎn)F在AB邊的延長線上,∠EBF=90°,連結(jié)AE、CF.
易證:∠AEB=∠CFB(不需要證明).
探究:如圖(2),已知正方形ABCD和等腰直角△EBF,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部,點(diǎn)F在正方形ABCD外部,∠EBF=90°,連結(jié)AE、CF.
求證:∠AEB=∠CFB
應(yīng)用:如圖(3),在(2)的條件下,當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí),連結(jié)CE,若AE=1,EF=2,則CE=______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,我國很多地區(qū)持續(xù)出現(xiàn)霧霾天氣.某社區(qū)為了調(diào)查本社區(qū)居民對霧霾天氣主要成因的認(rèn)識情況,隨機(jī)對該社區(qū)部分居民進(jìn)行了問卷調(diào)查,要求居民從五個(gè)主要成因中只選擇其中的一項(xiàng),被調(diào)查居民都按要求填寫了問卷.社區(qū)對調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了整理,繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.被調(diào)查居民選擇各選項(xiàng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
霧霾天氣的主要成因 | 頻數(shù)(人數(shù)) |
A大氣氣壓低,空氣不流動 | m |
B地面灰塵大,空氣濕度低 | 40 |
C汽車尾氣排放 | n |
D工廠造成的污染 | 120 |
E其他 | 60 |
請根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題:
(1)填空:m=________,n=________,扇形統(tǒng)計(jì)圖中C選項(xiàng)所占的百分比為________.
(2)若該社區(qū)居民約有6 000人,請估計(jì)其中會選擇D選項(xiàng)的居民人數(shù).
(3)對于“霧霾”這個(gè)環(huán)境問題,請你用簡短的語言發(fā)出倡議.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,函數(shù)y1=的圖象與函數(shù)y2=kx+b的圖象交于點(diǎn)A(﹣1,a)B(﹣8+a,1)
(1)求函數(shù)y=和y=kx+b的表達(dá)式;
(2)觀察圖象,直接寫出不等式<kx+b的解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,在同一平面內(nèi),以AC為一邊作等邊△ACD,連接BD,則BD= ______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為拓展學(xué)生視野,促進(jìn)書本知識與生活實(shí)踐的深度融合,荊州市某中學(xué)組織八年級全體學(xué)生前往松滋洈水研學(xué)基地開展研學(xué)活動.在此次活動中,若每位老師帶隊(duì)14名學(xué)生,則還剩10名學(xué)生沒老師帶;若每位老師帶隊(duì)15名學(xué)生,就有一位老師少帶6名學(xué)生,現(xiàn)有甲、乙兩種大型客車,它們的載客量和租金如表所示:
甲型客車 | 乙型客車 | |
載客量(人/輛) | 35 | 30 |
租金(元/輛) | 400 | 320 |
學(xué)校計(jì)劃此次研學(xué)活動的租金總費(fèi)用不超過3000元,為安全起見,每輛客車上至少要有2名老師.
(1)參加此次研學(xué)活動的老師和學(xué)生各有多少人?
(2)既要保證所有師生都有車坐,又要保證每輛車上至少要有2名老師,可知租車總輛數(shù)為 輛;
(3)學(xué)校共有幾種租車方案?最少租車費(fèi)用是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F
(1)求證:EO=FO;
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某市有一塊長為(3a+b)米、寬為(2a+b)米的長方形地塊,中間是邊長為(a+b)米的正方形,規(guī)劃部門計(jì)劃將在中間的正方形修建一座雕像,四周的陰影部分進(jìn)行綠化.
(1)綠化的面積是多少平方米?(用含字母a、b的式子表示)
(2)求出當(dāng)a=10,b=12時(shí)的綠化面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)抽取20名學(xué)生統(tǒng)計(jì)某月的用筆數(shù)量情況,結(jié)果如下表:
用筆數(shù)(支) | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 |
學(xué)生數(shù) | 4 | 4 | 7 | 3 | 2 |
則關(guān)于這20名學(xué)生這個(gè)月的用筆數(shù)量的描述,下列說法正確的是( ) .
A. 眾數(shù)是7支 B. 中位數(shù)是6支 C. 平均數(shù)是5支 D. 方差為0
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