【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線ABy軸于點(diǎn)A(0,1),交x軸于點(diǎn)B(3,0).直線x=1AB于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,P是直線x=1上一動(dòng)點(diǎn),在點(diǎn)D的上方,設(shè)P(1,n).

(1)求直線AB的解析式;

(2)求△ABP的面積(用含n的代數(shù)式表示);

(3)當(dāng)SABP=2時(shí),以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC,求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案】(1)y=x+1;(2);(3)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(3,4)或(5,2)或(3,2).

【解析】

(1)把的坐標(biāo)代入直線的解析式,即可求得的值,然后在解析式中,令,求得的值,即可求得的坐標(biāo);

(2)利用即可求出結(jié)果;

(3)分三種情況討論,當(dāng)、分別為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)時(shí),求出點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、。

(1)設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b

A(0,1),B(3,0)代入得:

解得:

直線AB的解析式是:

(2)過點(diǎn)A作AMPD,垂足為M,則有AM=1,

x=1時(shí),=,P在點(diǎn)D的上方,

∴PD=n﹣,

由點(diǎn)B(3,0),可知點(diǎn)B到直線x=1的距離為2,即BD的邊PD上的高長(zhǎng)為2,

,

;

(3)當(dāng)S△ABP=2時(shí),,解得n=2,點(diǎn)P(1,2).

∵E(1,0), ∴PE=BE=2,

∴∠EPB=∠EBP=45°.

1種情況,如圖1,∠CPB=90°,BP=PC,

過點(diǎn)CCN⊥直線x=1于點(diǎn)N.

∵∠CPB=90°,∠EPB=45°,

∴∠NPC=∠EPB=45°.

又∵∠CNP=∠PEB=90°,BP=PC,

∴△CNP≌△BEP,∴PN=NC=EB=PE=2,

∴NE=NP+PE=2+2=4, ∴C(3,4).

第2種情況,如圖2, ∠PBC=90°,BP=BC,

過點(diǎn)C作CFx軸于點(diǎn)F.

∵∠PBC=90°,∠EBP=45°,

∴∠CBF=∠PBE=45°.

∵∠CFB=∠PEB=90°,BC=BP,

∴△CBF≌△PBE.

∴BF=CF=PE=EB=2,

∴OF=OB+BF=3+2=5, ∴C(5,2).

3種情況,如圖3,∠PCB=90°,

∴∠CPB=∠EBP=45°,

∴△PCB≌△ BEP,

∴PC=CB=PE=EB=2,∴C(3,2).

∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC,

綜上所述點(diǎn)C的坐標(biāo)是(3,4)或(5,2)或(3,2).

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