Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝2，對角線AC，BD交于點O，E為對角線AC上一點．

（1）求證：△OBC是等邊三角形；

（2）連結BE，當BE＝時，求線段AE的長；

（3）在BC邊上取點F，設P，Q分別為線段AE，BF的中點，連結EF，PQ．若EF＝2，求PQ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當BE＝時，線段AE的長為3﹣1或3+1；（3）PQ的取值范圍為≤PQ≤4．

【解析】

（1）根據矩形的性質可得：AD＝BC＝2，OA＝OC＝OB＝OD，∠ABC＝90°，然后利用勾股定理即可求出AC，從而求出OB、OC，即可證出△OBC是等邊三角形；

（2）作BM⊥AC于M，先求出∠BAC，根據銳角三角函數(shù)，即可分別求出BM和AM，根據勾股定理即可求出EM，最后根據點E的位置分類討論，即可求出AE的值；

（3）作EG⊥BC于G，作PN⊥BC于N，則EGPNAB，易知PN為梯形EABG的中位線，點N為BG的中點，設EG=x，根據題意，先求出x的取值范圍，然后根據梯形中位線的性質和勾股定理分別求出PN和FG，從而求出QN，再根據勾股定理求出與x的函數(shù)關系式，根據一次函數(shù)的增減性即可求出的最值，從而求出PQ的取值范圍.

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝2，OA＝OC＝OB＝OD，∠ABC＝90°

∴AC＝＝＝4，

∴OB＝OC＝2，

∴OB＝OC＝BC，

∴△OBC是等邊三角形；

（2）解：作BM⊥AC于M，如圖1所示：

∵△OBC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

∴∠BAC＝30°，

∴BM＝AB＝3，

∴AM＝BM＝3，EM＝＝＝1，

當點E在M的左側時，AE＝AM﹣EM＝3﹣1；

當點E在M的右側時，AE＝AM+EM＝3+1；

綜上所述，當BE＝時，線段AE的長為3﹣1或3+1；

（3）解：作EG⊥BC于G，作PN⊥BC于N，則EGPNAB，

易知PN為梯形EABG的中位線，點N為BG的中點

設EG=x，當點E與C重合時，EG的最小值為0；如圖所示EG≤EF=2，即0≤x≤2

∴PN=（EG+AB）＝，根據勾股定理：FG=

∵點Q、N分別為BF、BG的中點

∴BQ=BF，BN=BG

∴QN= BN－BQ=BG－BF=（BG－BF）=FG=，

∴

∵3＞0

∴隨x的增大而增大

∴當x=0時，的最小值為10，當x=2時，的最大值為16

∴PQ的取值范圍為≤PQ≤4．