Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=20cm，BC=16cm，點D為AB的中點．
（1）如果點P在線段BC上以6cm/s的速度由B點向C點運動，同時點Q在線段CA上由C向A點運動．
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）①先求得BP=CQ=6，PC=BD=10，然后根據(jù)等邊對等角求得∠B=∠C，最后根據(jù)SAS即可證明；
②因為V_P≠V_Q，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=8，根據(jù)全等得出CQ=BD=10，然后根據(jù)運動速度求得運動時間，根據(jù)時間和CQ的長即可求得Q的運動速度；
（2）因為V_Q＞V_P，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AB+AC的路程，據(jù)此列出方程，解這個方程即可求得．

解答：解：（1）①因為t=1（秒），
所以BP=CQ=6（厘米）
∵AB=20，D為AB中點，
∴BD=10（厘米）
又∵PC=BC-BP=16-6=10（厘米）
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD與△CQP中，

BP=CQ ∠B=∠C PC=BD

，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②因為V_P≠V_Q，
所以BP≠CQ，
又因為∠B=∠C，
要使△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=8，即△BPD≌△CPQ，
故CQ=BD=10．
所以點P、Q的運動時間t=

BP

6

=

8

6

=

4

3

（秒），
此時V Q=

CQ

t

=

10

4 3

=7.5（厘米/秒）．
（2）因為V_Q＞V_P，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AB+AC的路程
設(shè)經(jīng)過x秒后P與Q第一次相遇，依題意得

15

2

x=6x+2×20，
解得x=

80

3

（秒）
此時P運動了

80

3

×6=160（厘米）
又因為△ABC的周長為56厘米，160=56×2+48，
所以點P、Q在AB邊上相遇，即經(jīng)過了

80

3

秒，點P與點Q第一次在AB邊上相遇．

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的運用，解題的根據(jù)是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．