Question

△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板可繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)．求證：△BPE∽△CFP；
（2）將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)、邊AC于點(diǎn)E、F．△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫(xiě)出結(jié)論）
（3）在（2）的條件下，連結(jié)EF，△BPE與△PFE是否相似？若不相似，則動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPE與△PFE相似？說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）找出△BPE與△CFP的對(duì)應(yīng)角，其中∠BPE+∠CPF=135°，∠CPF+∠CFP=135°，得出∠BPE=∠CFP，從而解決問(wèn)題；
（2）利用（1）小題證明方法可證：△BPE∽△CFP；
（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)位置時(shí)，△BPE與△PFE相似，同（1），可證△BPE∽△CFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 PB：BE=PF：PE，進(jìn)而求出，△BPE與△PFE相似．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=135°，
∵∠EPF=45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BEP=∠CPF，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）．

（2）解：△BPE∽△CFP；
理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=135°，
∵∠EPF=45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BEP=∠CPF，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）．

（3）解：動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)位置時(shí)，△BPE與△PFE相似，
證明：同（1），可證△BPE∽△CFP，
得 CP：BE=PF：PE，
而CP=BP，
因此 PB：BE=PF：PE．
又因?yàn)椤螮BP=∠EPF，
所以△BPE∽△PFE（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定．它以每位學(xué)生都有的三角板在圖形上的運(yùn)動(dòng)為背景，既考查了學(xué)生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動(dòng)，動(dòng)中求靜的思維方法，又考查了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究的能力．