Question

在△ABC中，BC=10，S_△ABC=30，矩形DEFG內(nèi)接于△ABC，設(shè)DE=x，S_矩形DEFG=y．求：
（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形DEFG為正方形，求正方形DEFG的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，交DG于點(diǎn)K，根據(jù)在△ABC中，BC=10，S_△ABC=30可得出AG的長(zhǎng)，由DE=x，S_矩形DEFG=y可知DG=

y

x

，再根據(jù)DG∥BC可得出△ADG∽△ABC，由此可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中y與x的關(guān)系式得出DG的長(zhǎng)，由正方形的邊長(zhǎng)相等即可得出結(jié)論．

解答：解（1）點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，交DG于點(diǎn)K，
∵△ABC中BC=10，S_△ABC=30，
∴30=

1

2

×10×AH，
解得AH=6．
∵DE=x，S_矩形DEFG=y，
∴DG=

y

x

，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

AK

AH

=

DG

BC

，即

AK

6

=

y x

10

，
解得AK=

3y

5x

，
∴KH=6-

3y

5x

，
∴x=6-

3y

5x

，整理得y=10x-

5

3

x²（0＜x＜6）；

（2）由（1）知y=10x-

5

3

x²=x[10-

5

3

x]，
∵矩形DEFG的邊長(zhǎng)DE=x，
∴邊DE的鄰邊DG=10-

5

3

x
∵當(dāng)矩形DEFG為正方形時(shí)，x=10-

5

3

x，
解得x=

15

4

，
∴當(dāng)x=

15

4

時(shí)，四邊形DEFG為正方形，S_{正方形DEFG}=x²=（

15

4

）²=

225

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．