Question

【題目】已知：點(diǎn)C、A、D在同一條直線上，∠ABC=∠ADE=α，線段BD、CE交于點(diǎn)M．

（1）如圖1，若AB=AC，AD=AE
①問線段BD與CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
②求∠BMC的大小（用α表示）；
（2）如圖2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為 ， ∠BMC=（用α表示）；
（3）在（2）的條件下，把△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接EC并延長交BD于點(diǎn)M．則∠BMC=（用α表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1．

①BD=CE，理由如下：

∵AD=AE，∠ADE=α，

∴∠AED=∠ADE=α，

∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=180°﹣2α，

同理可得：∠BAC=180°﹣2α，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，

即：∠BAD=∠CAE．

在△ABD與△ACE中，

∵ ，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE；

②∵△ABD≌△ACE，

∴∠BDA=∠CEA，

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°﹣2α

（2）BD=kCE；90°﹣ α
（3）90°+ 1 2 α
【解析】（2）如圖2．
∵AD=ED，∠ADE=α，
∴∠DAE= =90°﹣ α，同理可得：∠BAC=90°﹣ α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即：∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，
∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD與△ACE中，
∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，
∴△ABD∽△ACE，
∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，
∴BD=kCE；
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°﹣ α．故答案為：BD=kCE，90°﹣ α；
（3）如右圖．

∵AD=ED，∠ADE=α，
∴∠DAE=∠AED= =90°﹣ α，同理可得：∠BAC=90°﹣ α，
∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，
∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD與△ACE中，
∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，
∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90°﹣ α+α=90°+ α．故答案為：90°+ α．
（1）①先根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC，則∠BAD=∠CAE，再根據(jù)SAS證明△ABD≌△ACE，從而得出BD=CE；
②先由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠BDA=∠CEA，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=∠DAE=180°﹣2α；（2）先根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°﹣ α，則∠BAD=∠CAE，再由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，則根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似證出△ABD∽△ACE，得出BD=kCE，∠BDA=∠CEA，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=∠DAE=90°﹣ α；（3）先在備用圖中利用SSS作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，再根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°﹣ α，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，從而證出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=90°+ α．