Question

已知等邊三角形△ABC和點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作三邊AB、AC、BC的平行線分別交AC、BC、AB于F、G、E，如圖①，點(diǎn)P在BC邊上可得PE+PF+PG=BC．當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí)（如圖②），點(diǎn)P在△ABC外部時(shí)如圖③，這兩種情況下是否還存在PE+PF+PG=BC的結(jié)論？若成立請(qǐng)給予證明，若不成立，那么PE、PF、PG與BC又有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

Answer 1

解：（1）如圖②，延長(zhǎng)FP，與BC交于點(diǎn)D，
∵等邊三角形△ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵PE∥BC，PG∥AC，PF∥AB，
∴∠A=∠B=∠C=∠PGD=∠PDG=∠AEP=∠CFP=60°，EP=BD，
∴△PDG為等邊三角形，四邊形PECG為等腰梯形，
∴PG=DG，PE=BD，PF=CG，
∵BC=BD+DG+CG，
∴BC=PE+PF+PG，

（2）如圖③，點(diǎn)P在△ABC外部時(shí)，PE+PF+PG=BC的結(jié)論不成立，
PE、PF、PG與BC的關(guān)系為：PE+PG-PF=BC．

分析：（1）如圖②，延長(zhǎng)FP，與BC交于點(diǎn)D，即FD∥AB，由等邊三角形△ABC，同時(shí)PE∥BC，PG∥AC，PF∥AB，即可推出∠A=∠B=∠C=∠PGD=∠PDG=∠AEP=∠CFP=60°，即可確定PG=DG，PE=BD，PF=CG，由BC=BD+DG+CG，即可推出BC=PE+PF+PG；
（2）如圖③，作EH∥AC，交BG于點(diǎn)H，由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，以及等腰梯形的性質(zhì)即可推出PE=HG，PG=EH=BH，PF=CG，即可推出PE+PG=BG，BG=BC+PF，通過(guò)等量代換即可推出PE+PG-PF=BC．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰梯形的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵在于結(jié)合圖形正確地作出輔助線，推出相等的角和邊．