【題目】如圖,AD∥BC,∠D=90°.
(1)如圖1,若∠DAB的平分線與∠CBA的平分線交于點(diǎn)P,試問(wèn):點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn)嗎?為什么?
(2)如圖2,如果P是DC的中點(diǎn),BP平分∠ABC,∠CPB=35°,求∠PAD的度數(shù)為多少?

【答案】
(1)解:點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn).理由如下:

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E,

∵AD∥BC,∠D=90°,

∴∠C=180°﹣∠D=90°,即PC⊥BC,

∵∠DAB的平分線與∠CBA的平分線交于點(diǎn)P,

∴PD=PE,PC=PE,

∴PC=PD,

∴點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn);


(2)解:過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E,

∵AD∥BC,∠D=90°,

∴∠C=180°﹣∠D=90°,即PC⊥BC.

在△PBE與△PBC中,

,

∴△PBE≌△PBC(AAS),

∴∠EPB=∠CPB=35°,PE=PC,

∵PC=PD,

∴PD=PE,

在Rt△PAD與Rt△PAE中,

∴Rt△PAD≌Rt△PAE(HL),

∴∠APD=∠APE,

∵∠APD+∠APE=180°﹣2×35°=110°,

∴∠APD=55°,

∴∠PAD=90°﹣∠APD=35°.


【解析】(1)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C=90°,即PC⊥BC,再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PD=PE,PC=PE,從而得到PC=PD,然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義解答;(2)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C=90°,即PC⊥BC,利用AAS證明△PBE≌△PBC,得出∠EPB=∠CPB=35°,PE=PC,由PC=PD,等量代換得到PD=PE,再根據(jù)HL證明Rt△PAD≌Rt△PAE,得出∠APD=∠APE=55°,那么∠PAD=90°﹣∠APD=35°.
【考點(diǎn)精析】利用角平分線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知定理1:在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等; 定理2:一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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組號(hào)

分組

頻數(shù)

6≤m<7

2

7≤m<8

7

8≤m<9

a

9≤m≤10

2

(1)求a的值.

(2)若用扇形統(tǒng)計(jì)圖來(lái)描述,求分?jǐn)?shù)在8≤m<9內(nèi)所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù).

(3)將在第一組內(nèi)的兩名選手記為A1,A2,在第四組內(nèi)的兩名選手記為B1B2, 從第一組和第四組中隨機(jī)選取2名選手進(jìn)行調(diào)研座談,求第一組至少有1名選手被選中的概率.

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