【題目】我們知道,如果兩個三角形全等,則它們面積相等,而兩個不全等的三角形,在某些情況下,可通過證明等底等高來說明它們的面積相等.已知△ABC與△DEC是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,連接AD、BE.

(1)如圖1,當(dāng)∠BCE=90°時,求證:SACD=SBCE;
(2)如圖2,當(dāng)0°<∠BCE<90°時,上述結(jié)論是否仍然成立?如果成立,請證明;如果不成立,說明理由.
(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,作CF⊥BE,延長FC交AD于點(diǎn)G,求證:點(diǎn)G為AD中點(diǎn).

【答案】
(1)證明:∵△ABC與△DEC是等腰直角三角形,

∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE

∵∠BCE=90°,

∴∠ACE=∠BCE,

在△ACD與△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS),

∴SACE=SBCE


(2)證明:作AG垂直DC的延長線于點(diǎn)G,作BH⊥CE,垂足為H,

∵∠ACB=∠GCE=90°,

∴∠ACG=∠BCH,

在△ACG與△BCF中,

,

∴△ACG≌△BCH(AAS)

∴AG=BH

∵CD=CE

CDAG= CEBH,

即SACE=SBCE


(3)證明:作AM垂直CG的延長線于點(diǎn)M,作DN⊥CG,垂足為N,

∴∠ACB=90,∠BFC=90°,

∴∠ACM+∠BCF=90°,∠BCF+∠CBF=90°,

∴∠ACM=∠CBF,

在△ACM與△BCF中,

,

∴△ACM≌△CBF(AAS),

∴AM=CF,

同理可證△DCN≌△CEF,

∴DN=CF,

∴AM=DN,

又∵∠AMG=∠DNG,

∴∠AGM=∠DGN,

在△AMG與△DNG中,

∴△AMG≌△DNG(AAS),

∴AG=DG,

即G為AD中點(diǎn),


【解析】(1)根據(jù)△ABC與△DEC是等腰直角三角形,得到AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE由∠BCE=90°,證得∠ACE=∠BCE,推出△ACD≌△BCE,從而證得結(jié)論SACE=SBCE;(2)作AG垂直DC的延長線于點(diǎn)G,作BH⊥CE,垂足為H,由于∠ACB=∠GCE=90°,得到∠ACG=∠BCH,推出△ACG≌△BCH,得出AG=BH,由于CD=CE,于是得到結(jié)果即SACE=SBCE;(3)作AM垂直CG的延長線于點(diǎn)M,作DN⊥CG,垂足為N,證得△ACM≌△CBF,得到AM=CF,同理可證△DCN≌△CEF,得到DN=CF,AM=DN,推出△AMG≌△DNG,得到AG=DG,即G為AD中點(diǎn).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°才能正確解答此題.

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