Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，連接AC交⊙O于點D，E為上一點，連結AE，BE，BE交AC于點F，且AE²=EF•EB．

（1）求證：CB=CF；
（2）若點E到弦AD的距離為1，，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：如圖，

∵AE²=EF•EB，∴。
又∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△AEB。
∴∠1=∠EAB。
∵BC是⊙O的切線，∴∠3=∠EAB。
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3。∴CB=CF。
（2）如圖，連接OE交AC于點G，設⊙O的半徑是r，
由（1）知，△AEF∽△AEB，則∠EAF=∠EBA，∴�！郞E⊥AD。
∵點E到弦AD的距離為1，∴EG=1。
∵，且∠C+∠GAO=90°，∴。
∴，即。
解得，，即⊙O的半徑是。

（1）如圖，通過相似三角形（△AEF∽△AEB）的對應角相等推知，∠1=∠EAB；又由弦切角定理、對頂角相等證得∠2=∠3；最后根據(jù)等角對等邊證得結論。
（2）如圖，連接OE交AC于點G，設⊙O的半徑是r，由（1）中的相似三角形的性質證得∠EAF=∠EBA，所以由“圓周角、弧、弦間的關系”推知點E是弧AD的中點，則OE⊥AD；然后通過解直角△ABC求得cos∠C
=sin∠GAO=，即可求得r的值�！�