Question

如圖，AB為⊙O的直徑，EF切⊙O于點D，過點B作BH⊥EF于點H，交⊙O于點C，連接BD．
（1）求證：BD平分∠ABH；
（2）如果AB=12，sin∠ABC=

5

3

，求DH和BC的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),解直角三角形

專題：證明題

分析：（1）連結OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得EF⊥OD，而BH⊥EF，則OD∥BH，利用平行線的性質(zhì)得∠2=∠3，加上∠1=∠3，所以∠1=∠2；
（2）作OG⊥BC于G，如圖，根據(jù)垂徑定理得BG=CG，在Rt△OBG中，利用正弦的定義可計算出OG=2

5

，再證明四邊形OGHD為矩形得到DE=OG=2

5

，然后在Rt△OBG中利用勾股定理計算出BG=4，從而得到BC=2BG=8．

解答：（1）證明：連結OD，如圖，
∵EF切⊙O于點D，
∴EF⊥OD，
∵BH⊥EF，
∴OD∥BH，
∴∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴BD平分∠ABH；
（2）解：作OG⊥BC于G，如圖，則BG=CG，
在Rt△OBG中，sin∠OBG=

OG

OB

=

5

3

，
而OB=6，
∴OG=2

5

，
∵OD⊥DH，GH⊥DH，
∴四邊形OGHD為矩形，
∴DE=OG=2

5

，
在Rt△OBG中，∵OB=6，OG=2

5

，
∴BG=

OB2-OG2

=4，
∴BC=2BG=8．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了解直角三角形．