Question

如圖①，平面直角坐標(biāo)系中的?AOBC，∠AOB=60°，OA=8cm，OB=10cm，點P從A點出發(fā)沿AC方向，以1cm/s速度向C點運動；點Q從B點同時出發(fā)沿BO方向，以3cm/s的速度向原點O運動．其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）求出A點和C點的坐標(biāo)；
（2）如圖②，從運動開始，經(jīng)過多少時間，四邊形AOQP是平行四邊形；
（3）在點P、Q運動的過程中，三角形OQP有可能成為直角三角形嗎？若能，求出運動時間；若不能，請說明理由．（圖③供解題時用）

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：（1）因為AO=8為已知，∠AOB=60°，可利用三角函數(shù)中，正弦或余弦求出A點的橫坐標(biāo)以及縱坐標(biāo)，至于C，因為AC連線與X軸平行，所以和A點縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)在A的基礎(chǔ)上加10即可．
（2）四邊形AOQP如果是平行四邊形，則必須有AP=OQ，可根據(jù)P、Q運動速度，以及運動時間t，求出AP和OQ的長，從而列方程解答即可．
（3）分為兩種情況：①∠OQP=90°，②∠QPO=90°，根據(jù)勾股定理和直角三角形性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）過點A作AD垂直O(jiān)B于點D，垂足為D，
在Rt△AOD中，∵∠AOB=60°，OA=8cm
∴OD=

1

2

OA=4cm，
由勾股定理，得AD=4

3

cm，
∴A（4，4

3

），
∵OB=AC=10cm，
∴C（14，4

3

）．

（2）設(shè)經(jīng)過t秒鐘，四邊形AOQP是平行四邊形，
則有AP=OQ，
即t=10-3t，t=

5

2

（秒）
故經(jīng)過

5

2

秒鐘，四邊形AOQP是平行四邊形．

（3）分為兩種情況：①∠PQO=90°，如圖③，∵此時四邊形APQD是矩形，
∴AP=DQ，
即t=8-3t-4，
解得：t=1，
②∠OPQ=90°，
如圖④，過P作PM⊥OB于M，
則OP²=PM²+OM²，PQ²=PM²+QM²，OP²+PQ²=0Q²，
即（4

3

）²+（4+t）²+（4

3

）²+（8-3t-4-t）²=（8-3t）²，
即t²+3t+8=0，
此時方程無解；
∴在點P、Q運動的過程中，三角形OQP有可能成為直角三角形，運動時間是1s．

點評：本題主要考查了平行四邊形、直角梯形的判定，直角三角形的應(yīng)用，用了分類討論思想，題目比較好，難易程度適中．