Question

如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AB上，DE⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BM、DN、EN，∠AND=∠MBC．
（1）AN=3，BE=8，求DE的長(zhǎng)；
（2）求證：∠DNE=2∠ABM．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD=CD=BC=AB，AD∥BC，推出∠AMB=∠MBC，求出∠AND=∠AMB，求出△ABM≌△ADN，求出AM=AN=3，求出DC，CE，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）過(guò)N作NQ∥AD交DE于Q，求出Q為DE中點(diǎn)，推出DN=NE，求出∠DNQ=∠ENQ=

1

2

∠DNE，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出∠ABM=∠ADN，即可得出答案．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD=BC=AB，AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，
∵∠AND=∠MBC，
∴∠AND=∠AMB，
在△ABM和△ADN中

∠AMB=∠AND ∠A=∠A AB=AD

∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN=3，
∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，
∴AD=6，
∴AB=DC=BC=6，
∵BE=8，
∴CE=8-6=2，
∵⊥BC，
∴∠DEC=90°，由勾股定理得：DE=

DC2-CE2

=

62-22

=4

2

；

（2）證明：過(guò)N作NQ∥AD交DE于Q，
∵AN=3，AB=6，
∴N為AB中點(diǎn)，
∵AD∥BC，
∴AD∥NQ∥BC，
∴Q為DE中點(diǎn)，
∵DE⊥BC，
∴NQ⊥DE，
∴DN=NE，
∴∠DNQ=∠ENQ=

1

2

∠DNE，
∵△ABM≌△ADN，
∴∠ABM=∠ADN，
∵AD∥NQ，
∴∠ADN=∠DNQ，
∴∠DNE=2∠ABM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度適中．