Question

如圖，Rt△ABC中，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，點M是BC的中點，連接MD、ME．
（1）若AB=8，AC=4，求DE的長；
（2）求證：AB-AC=2DM．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)求得AE和AD的長，二者的差就是所求；
（2）延長CD交AB于點F，證明MD是△BCF的中位線，AF=AC，據(jù)此即可證得．

解答：解：（1）直角△ABE中，AE=

2

2

AB=4

2

，
在直角△ACD中，AD=

2

2

AC=2

2

，
則DE=AE-AD=4

2

-2

2

=2

2

；

（2）延長CD交AB于點F．
在△ADF和△ADC中，

∠FAD=∠CAD AD=AD ∠ADF=∠ADC

，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AC=AF，CD=DF，
又∵M是BC的中點，
∴DM是△CBF的中位線，
∴DM=

1

2

BF=

1

2

（AB-AF）=

1

2

（AB-AC），
∴AB-AC=2DM．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．