Question

如圖，直線AC、BD相交于O，△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，直線EF過點O，交AD、BC于點E、F，證明下列命題：
（1）若OE⊥AD，則BF=CF；
（2）若BF=CF，則OE⊥AD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：證明題

分析：由三角形AOB與三角形COD都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性質得到兩對邊相等，且一對直角相等，利用SAS得到三角形AOD與三角形COB全等，利用全等三角形對應角相等得到∠ADO=∠BCO，
（1）由OE與AD垂直，且∠AOD為直角，利用同角的余角相等得到一對角相等，再利用對頂角相等，等量代換得到∠OCF=∠FOC，利用等角對等邊得到OF=CF，同類得到BF=OF，等量代換即可得證；
（2）根據BF=CF，得到OF為直角三角形BOC斜邊上的中線，得到OF=BF=CF，利用等邊對等角得到∠OCF=∠FOC，利用對頂角相等及等量代換得到∠AOE=∠ODE，根據∠AOE+∠EDO為直角得到∠OED+∠D為直角，即可得證．

解答：證明：∵△AOB與△OCD都為等腰直角三角形，
∴OA=OB，OD=OC，
在△AOD和△BOC中，

OA=OB ∠AOD=∠BOC=90° OD=OC

，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO=∠BCO，
（1）∵OE⊥AD，∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=∠AOE+∠DAO=90°，
∴∠ADO=∠AOE，
∵∠AOE=∠COF，
∴∠OCF=∠FOC，
∴CF=FO，
同理，BF=OF，
∴BF=CF；
（2）∵BF=CF，∠BOC=90°，
∴OF=FC，
∴∠FOC=∠FCO
∵∠FOC=∠AOE，
∴∠AOE+∠OAE=∠OAE+∠ADO=90°，
∴OE⊥AD．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．