Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）已知弦CD⊥AB于E點(diǎn)，PC=3

3

，PB=3，求CD長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專題：證明題

分析：（1）由OA=OC得∠A=∠ACO，再利用三角形外角性質(zhì)得∠COB=∠A+∠ACO，則∠COB=2∠ACO，由于∠COB=2∠PCB，則∠ACO=∠PCB，接著根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，所以∠PCB+∠OCB=90°，然后可根據(jù)切線的判定定理得到PC是⊙O切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=r，所以O(shè)P=r+3，在Rt△PCO中利用勾股定理得到，r²+（3

3

）²=（r+3）²，解得r=3，再利用面積法克計(jì)算出CE=

3 3

2

，然后根據(jù)垂徑定理由CD⊥AB即可得到CD=2CE=3

3

．

解答：解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠COB=∠A+∠ACO，
∴∠COB=2∠ACO，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=r，所以O(shè)P=r+3，
在Rt△PCO中，∵OC²+PC²=OP²，
∴r²+（3

3

）²=（r+3）²，解得r=3
∴OC=3，OP=6，
∵

1

2

CE•OP=

1

2

OC•PC，
∴CE=

3×3 3

6

=

3 3

2

，
∵CD⊥AB，
∴CD=2CE=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和勾股定理．