【題目】已知:關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣(k﹣1)x﹣1=0

(1)求證:方程有兩個實數(shù)根;

(2)當k為何值時,此方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù);

(3)我們定義:若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個正實數(shù)根x1、x2(x1x2),滿足2<<3,則稱這個一元二次方程有兩個“夢想根”.如果關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣(k﹣1)x﹣1=0有兩個“夢想根”,求k的范圍.

【答案】(1)證明見解析(2)1(3)k<-或﹣3k﹣2

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)方程的判別式,可得答案;

(2)根據(jù)互為相反數(shù)的和為零,可得關(guān)于k的方程,根據(jù)解方程,可得答案;

(3)根據(jù)方程的夢想根,可得不等式組,根據(jù)解不等式組,可得答案.

試題解析:(1)關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣(k﹣1)x﹣1=0,

a=k,b=﹣(k﹣1),c=﹣1,

=b2﹣4ac=[﹣(k﹣1)]2﹣4k(﹣1)=k2+2k+1=(k+1)20,

關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣(k﹣1)x﹣1=0有兩個實數(shù)根;

(2)關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣(k﹣1)x﹣1=0,

x1=,x2=

方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù),得

x1+x2=+=0,

=0,

解得k=1,

當k=1時,此方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù);

(3)當k0時,x1=1,x2=﹣0,不符合題意;

當﹣1k0時,x1=﹣,x2=1,2<<3,得,

解得﹣k<-

當k﹣1時,x1=﹣,x2=1,由2<<3,得2﹣k3,

解得﹣3k﹣2不符合題意舍去,

綜上所述:于x的一元二次方程kx2﹣(k﹣1)x﹣1=0有兩個“夢想根”,k的范圍是:

k<-或﹣3k﹣2.

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