Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸交于點O、M．對稱軸為直線x=2，以O(shè)M為直徑作圓A，以O(shè)M的長為邊長作菱形ABCD，且點B、C在第四象限，點C在拋物線對稱軸上，點D在y軸負半軸上；

（1）求證：4a+b=0；

（2）若圓A與線段AB的交點為E，試判斷直線DE與圓A的位置關(guān)系，并說明你的理由；

（3）若拋物線頂點P在菱形ABCD的內(nèi)部且∠OPM為銳角時，求a的取值范圍．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）由題意可知（4，0），由拋物線經(jīng)過點O可求得c=0，將c=0，x=4，y=0代入拋物線的解析式可證得：4a+b=0；

（2）如圖1所示：由菱形的性質(zhì)可知：DN=NB，DN⊥AN，由OM=AD=AB，可證明AD=AB=DB，由AE=2可知AE=EB，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AE⊥DE，從而可證明DE與圓A相切；

（3）如圖2所示．設(shè)點P的坐標為（2，m）．由題意可知點E的坐標為（﹣2，2），設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x﹣4），將x=2代入得y=﹣4a即m=﹣4a．由∠OPM為銳角且拋物線的頂點在菱形的內(nèi)部可知﹣4a＜﹣2、﹣4a＞﹣4，從而可求得a的取值范圍．

【解答】解：（1）∵O的坐標為（0，0），拋物線的對稱軸為x=2，

∴點M的坐標為（4，0）．

∵拋物線經(jīng)過點O，

∴c=0．

將c=0，x=4，y=0代入拋物線的解析式得：16a+4b=0．

整理得：4a+b=0．

（2）DE與圓A相切．

理由：如圖1所示：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴DN=NB，DN⊥AN．

∵∠AOD=∠AON=∠DNA=90°，

∴四邊形OAND為矩形．

∴OA=DN=2．

∴DB=OM=4．

∵OM=AD=AB，

∴AD=AB=DB．

∵AE為圓A的半徑，

∴AE=EB=2．

∵AD=DB，AE=EB．

∴AE⊥DE．

∴DE與圓A相切．

（3）如圖2所示．

設(shè)點P的坐標為（2，m）．

∵OM為圓A的直徑，

∴∠OEM=90°．

∵AE=2，OA=2，

∴點E的坐標為（﹣2，2）．

設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x﹣4），將x=2代入得y=﹣4a．

∴m=﹣4a．

∵∠OPM為銳角，

∴點P在點E的下方．

∴﹣4a＜﹣2．

解得：a＞．

在Rt△AOD中，OD==2．

∴AC=4．

∵點P在菱形的內(nèi)部，

∴點P在點C的上方．

∴﹣4a＞﹣4．

解得：a＜．

∴a的取值范圍是．

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了菱形的性質(zhì)、切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形三線合一的性質(zhì)，依據(jù)腰三角形三線合一的性質(zhì)證得DE⊥AE是解答問題（2）的關(guān)鍵，由拋物線的頂點P在菱形ABCD的內(nèi)部且∠OPM為銳角得出點P的縱坐標的取值范圍是解問題（3）的關(guān)鍵．