【題目】已知,正方形ABCD的邊長為6,菱形EFGH的三個頂點E、G、H 分別在正方形ABCD邊AB、CD、DA上,AH=2.

(1)如圖1,當DG=2,且點F在邊BC上時.

求證:① △AHE≌△DGH;

② 菱形EFGH是正方形;

(2)如圖2,當點F在正方形ABCD的外部時,連接CF.

① 探究:點F到直線CD的距離是否發(fā)生變化?并說明理由;

② 設DG=x,△FCG的面積為S,是否存在x的值,使得S=1,若存在,求出x的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1)證明見解析(2①2②不存在

【解析】試題解析:(1)由正方形的性質(zhì)得A=D=90°,由菱形的性質(zhì)得EH=HG,又AH=DG=2,故可證AHE≌△DGH;可得GHE=90°,故 菱形EFGH是正方形.

(2)FMDCM,連結(jié)GE. 通過證明AHE≌△MFGFM=HA=2,即無論菱形EFGH如何變化,點F到直線CD的距離始終為定值2.

在RtAHE中,AE=>6,即點E已經(jīng)不在邊AB上.故不可能有S=1.

試題解析:(1) 在正方形ABCD中,A=D=90°,

在菱形EFGH中,EH=HG,

AH=DG=2,

AHE≌△DGH.

由(1)知AHE≌△DGH,

AHE=DGH

DGH+DHG=90°,

DHG+AHE=90°,

GHE=90°,

菱形EFGH是正方形.

(2)F到直線CD的距離沒有發(fā)生變化,理由如下:

FMDCM,連結(jié)GE. 如圖,

ABCD, ∴∠AEG=MGE

HEGF, ∴∠HEG=FGE,

AEH=MGF

AHEMFG中,A=M=90°,HE=FG

AHE≌△MFG.

FM=HA=2,即無論菱形EFGH如何變化,點F到直線CD的距離始終為定值2.

不存在.

DG=x, GC=6-x.

S= SFCG=×2×(6-x)=6-x

S=SFCG=1,SFCG=6-x,得x=5.

此時,在RtDGH中,HG==

相應地,在RtAHE中,AE=>6,即點E已經(jīng)不在邊AB上.

故不可能有S=1.

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