【題目】如圖,在ABC中,AB=7.5,AC=9,SABC=.動點PA點出發(fā),沿AB方向以每秒5個單位長度的速度向B點勻速運動,動點QC點同時出發(fā),以相同的速度沿CA方向向A點勻速運動,當點P運動到B點時,P、Q兩點同時停止運動,以PQ為邊作正PQM(P、Q、M按逆時針排序),以QC為邊在AC上方作正QCN,設(shè)點P運動時間為t秒.

(1)求cosA的值;

(2)當PQMQCN的面積滿足SPQM=SQCN時,求t的值;

(3)當t為何值時,PQM的某個頂點(Q點除外)落在QCN的邊上.

【答案】(1)coaA=;(2)當t=時,滿足SPQM=SQCN;(3)當t=ss時,PQM的某個頂點(Q點除外)落在QCN的邊上.

【解析】(1)如圖1中,作BEACE.利用三角形的面積公式求出BE,利用勾股定理求出AE即可解決問題;

(2)如圖2中,作PHACH.利用SPQM=SQCN構(gòu)建方程即可解決問題;

(3)分兩種情形①如圖3中,當點M落在QN上時,作PHACH.②如圖4中,當點MCQ上時,作PHACH.分別構(gòu)建方程求解即可;

1)如圖1中,作BEACE.

SABC=ACBE=

BE=,

RtABE中,AE=,

coaA=

(2)如圖2中,作PHACH.

PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC-AH-CQ=9-9t,

PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9-9t)2,

SPQM=SQCN,

PQ2=CQ2,

9t2+(9-9t)2=×(5t)2,

整理得:5t2-18t+9=0,

解得t=3(舍棄)或

∴當t=時,滿足SPQM=SQCN

(3)①如圖3中,當點M落在QN上時,作PHACH.

易知:PMAC,

∴∠MPQ=PQH=60°,

PH=HQ,

3t=(9-9t),

t=

②如圖4中,當點MCQ上時,作PHACH.

同法可得PH=QH,

3t=(9t-9),

t=

綜上所述,當t=ss時,PQM的某個頂點(Q點除外)落在QCN的邊上.

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