【題目】已知△ABC,以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如圖1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四邊形ABCD是平行四邊形,則∠ABC=____.45°;
(2)如圖2,若∠ABC=30°,△ACD是等邊三角形,AB=3,BC=4.求BD的長;
(3)如圖3,若∠ABC=30°,∠ACD=45°,AC=2,B、D之間距離是否有最大值?如有求出最大值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)45°;(2)BD=5;(3)當B、O、D共線時,BD的值最大,最大值為2+.
【解析】
(1)由AC=AD得∠D=∠ACD,由平行四邊形的性質得∠D=∠ABC,在△ACD中,由內角和定理求解;
(2)如圖2,在△ABC外作等邊△BAE,連接CE,利用旋轉法證明△EAC≌△BAD,可證∠EBC=90°,BE=AB=3,在Rt△BCE中,由勾股定理求CE,由三角形全等得BD=CE;
(3)如圖3中,在△ACD的外部作等邊三角形△ACO,以O為圓心OA為半徑作⊙O.首先說明點B在⊙O上運動,當B、O、D共線時,BD的值最大,求出OD即可解決問題;
(1)解:(1)如圖1中,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA.∠DAB+∠ABC=180°.
∵AC=BC,
∴∠ABC=∠BAC.
∵∠DAC=2∠ABC,
∴2∠ABC+2∠ABC=180°,
∴∠ABC=45°
故答案為:45;
(2)如圖2,以AB為邊在△ABC外作等邊三角形△ABE,連接CE.
∵△ACD是等邊三角形,
∴AD=AC,∠DAC=60°.
∵∠BAE=60°,
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC.
即∠EAC=∠BAD
∴△EAC≌△BAD.
∴EC=BD.
∵△AEB是等邊三角形,
∴∠EBA=60°,EB=3,
∵∠ABC=30°,
∴∠EBC=90°.
∵∠EBC=90°,EB=3,BC=4,
∴EC=5.
∴BD=5.
(3)如圖3中,在△ACD的外部作等邊三角形△ACO,以O為圓心OA為半徑作⊙O.
∵∠ABC=∠AOC=30°,
∴點B在⊙O上運動,
作OE⊥DA交DA的延長線于E.
在Rt△AOE中,OA=AC=2,∠EAO=30°,
∴OE=OA=1,AE=,
在Rt△ODE中,DE=AE+AD=2+,
∴DO==,
當B、O、D共線時,BD的值最大,最大值為OB+OD=2+.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=6cm,BC=4cm,AC=3cm.將△ABC沿著與AB垂直的方向向上平移3cm,得到△DEF.
(1)四邊形ABDF是什么四邊形?
(2)求陰影部分的面積?
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【題目】已知如圖,在△ABC 中,AB=AC,D、E 是 BC 上異于 B、C 的任意兩點,連接 AD 和 AE,且AD=AE.
(1)圖中有幾組全等三角形?請分別寫出來;
(2)選擇其中的一組證明兩三角形全等.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D為AB延長線上一點,點E在BC邊上,且BE=BD,連結AE、DE、DC
①求證:△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度數(shù).
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【題目】如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長,那么我們稱這個三角形為“美麗三角形”,
(1)如圖△ABC中,AB=AC=,BC=2,求證:△ABC是“美麗三角形”;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,若△ABC是“美麗三角形”,求BC的長.
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【題目】某中學為了解該校九年級學生對觀看“中國詩詞大會”節(jié)目喜愛程度,對該校九年級學生進行了隨機抽樣調查,調查時,將喜愛程度分為四級:A級非常喜歡,B級喜歡,C級一般,D級不喜歡根據調查結果,繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖請你結合圖中信息解答下列問題:
本次調查共抽取______名學生,在扇形圖中,表示A級的扇形的圓心角為______;
若該校九年級共有學生300人,請你估計不喜歡觀看“中國詩詞大會”節(jié)目的有多少人?并補全條形圖;
已知在A級學生中有3名男生,現(xiàn)要從本次調查中的5名A級學生中,選出2名參加全市中學生詩詞大會比賽,請用“列表”或“樹形圖”的方法,求選出的2名學生中至少有1名女生的概率.
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【題目】某小組在學校組織的研究性學習活動中了解所居住的小區(qū)500戶居民的人均收入情況,從中隨機調查了40戶居民家庭收入情況(收入取整數(shù),單位:元),并繪制了如下的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖,根據以上提供的信息,解答下列問題:
分組 | 頻數(shù) | 百分比 |
600≤x<800 | 2 | 5% |
800≤x<1000 | 6 | 15% |
1000≤x<1200 | 45% | |
9 | 22.5% | |
1600≤x<1800 | 2 | |
合計 | 40 | 100% |
(1)補全頻數(shù)分布表.
(2)補全頻數(shù)分布直方圖.
(3)請你估計該居民小區(qū)家庭人均收入屬于中等收入(1000≤x<1600)的大約有多少戶?
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【題目】已知,△ABC為等邊三角形,點D為AC上的一個動點,點E為BC延長線上一點,且BD=DE.
(1)如圖1,若點D在邊AC上,猜想線段AD與CE之間的關系,并說明理由;
圖1
(2)如圖2,若點D在AC的延長線上,(1)中的結論是否成立,請說明理由.
圖2
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