Question

【題目】已知：∠MON=36°，OE平分∠MON，點(diǎn)A，B分別是射線OM，OE，上的動(dòng)點(diǎn)（A，B不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)D是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交射線ON于點(diǎn)C，設(shè)∠OAC=x，

（1）如圖1，若AB∥ON，則
①∠ABO的度數(shù)是；
②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí)，x=；
當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí)，x=；
（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ABD中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）18°,126°,63°
（2）解：如圖2，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角．

∵AB⊥OM，∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=18°，∠ABO=72°，

①當(dāng)AC在AB左側(cè)時(shí)：

若∠BAD=∠ABD=72°，則∠OAC=90°﹣72°=18°；

若∠BAD=∠BDA=（180°﹣72°）÷2=54°，則∠OAC=90°﹣54°=36°；

若∠ADB=∠ABD=72°，則∠BAD=36°，故∠OAC=90°﹣36°=54°；

②當(dāng)AC在AB右側(cè)時(shí)：

∵∠ABE=108°，且三角形的內(nèi)角和為180°，

∴只有∠BAD=∠BDA=（180°﹣108°）÷2=36°，則∠OAC=90°+36°=126°．

綜上所述，當(dāng)x=18、36、54、126時(shí)，△ADB中有兩個(gè)相等的角．

【解析】解：（1）如圖1，①∵∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=∠BON=18°，

∵AB∥ON，

∴∠ABO=18°；②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí)，∠BAD=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°﹣18°×3=126°；③當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí)，∵∠ABO=18°，

∴∠BAD=81°，∠AOB=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°﹣18°﹣18°﹣81°=63°，
（2）如圖2，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角．

∵AB⊥OM，∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=18°，∠ABO=72°，

①當(dāng)AC在AB左側(cè)時(shí)：

若∠BAD=∠ABD=72°，則∠OAC=90°﹣72°=18°；

若∠BAD=∠BDA=（180°﹣72°）÷2=54°，則∠OAC=90°﹣54°=36°；

若∠ADB=∠ABD=72°，則∠BAD=36°，故∠OAC=90°﹣36°=54°；

②當(dāng)AC在AB右側(cè)時(shí)：

∵∠ABE=108°，且三角形的內(nèi)角和為180°，

∴只有∠BAD=∠BDA=（180°﹣108°）÷2=36°，則∠OAC=90°+36°=126°．

綜上所述，當(dāng)x=18、36、54、126時(shí)，△ADB中有兩個(gè)相等的角．

所以答案是：（1）①18°；②126°；③63°；（2）當(dāng)x=18、36、54、126時(shí)，△ADB中有兩個(gè)相等的角.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平行線的性質(zhì)，需要了解兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)才能得出正確答案．