Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根為2．
（1）求q關(guān)于p的關(guān)系式；
（2）求證：拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）設(shè)拋物線y=x²+px+q的頂點(diǎn)為M，且與x軸相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，求使△AMB面積最小時(shí)的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入可求得q與p的關(guān)系式；
（2）由△=b²-4ac可判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)情況；
（3）先寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，方程根與系數(shù)關(guān)系可求線段AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求得△AMB的面積表達(dá)，從而求得最小值．

解答：（1）解：把x=2代入得2²+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；

（2）證明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判別式△=p²-4q＞0，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x²+px+q=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根．（4分）
∴拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（5分）

（3）解：拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為M(-

p

2

，

4q-p2

4

)，（6分）
∵x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩個(gè)根，
∴

x1+x2=-p x1x2=q

，
∴|AB|=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

p2-4q

．（7分）
∴S△AMB=

1

2

|AB|•|

4q-p2

4

|=

1

8

(p2-4q)

p2-4q

，（8分）
要使S_△AMB最小，只須使p²-4q最小．
由（2）得△=p²-4q=（p+4）²+4，
所以當(dāng)p=-4時(shí)，有最小值4，此時(shí)S_△AMB=1，q=3．（9分）
故拋物線的解析式為y=x²-4x+3．（10分）

點(diǎn)評(píng)：考查了代入法、判別式△的使用，以及一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積的求法、最大最小值的求解等內(nèi)容．