Question

如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上的點(diǎn)，且BE=BA，以點(diǎn)A為圓心、AD長為半徑作⊙A交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作⊙A的切線BF，切點(diǎn)為F．
（1）請(qǐng)判斷直線BE與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如果AB=10，BC=5，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),切線的判定與性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：幾何綜合題

分析：（1）直線BE與⊙A的位置關(guān)系是相切，連接AE，過A作AH⊥BE，過E作EG⊥AB，再證明AH=AD即可；
（2）連接AF，則圖中陰影部分的面積=直角三角形ABF的面積-扇形MAF的面積．

解答：解：（1）直線BE與⊙A的位置關(guān)系是相切，
理由如下：連接AE，過A作AH⊥BE，過E作EG⊥AB，則四邊形ADEG是矩形．
∵S_△ABE=

1

2

BE•AH=

1

2

AB•EG，AB=BE，
∴AH=EG，
∵四邊形ADEG是矩形，
∴AD=EG，
∴AH=AD，
∴BE是圓的切線；

（2）連接AF，
∵BF是⊙A的切線，
∴∠BFA=90°
∵BC=5，
∴AF=5，
∵AB=10，
∴∠ABF=30°，
∴∠BAF=60°，
∴BF=

3

AF=5

3

，
∴圖中陰影部分的面積=直角三角形ABF的面積-扇形MAF的面積=

1

2

×5×5

3

-

60•π×52

360

=

75 3 -25π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、三角形和扇形面積公式的運(yùn)用以及特殊角的銳角三角函數(shù)值，題目的綜合性較強(qiáng)，難度不小，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線．