Question

矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，若∠1=∠2=∠3=∠4．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）若AB=6，BC=8，求四邊形EFGH的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先求出∠HEF=∠FGH，再求出∠EFG=∠EHG，然后判定四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得EF=HG，F(xiàn)G=EH，然后得到△BEF和△DGH全等，△AEH和△CGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得HD=BF，BE=DG，再根據(jù)△AEH和△BEF相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出其比值，設(shè)AE、AH分別為6k、8k，根據(jù)勾股定理求出EH，再表示出BE、BF，根據(jù)勾股定理表示出EF，然后EF+EH正好消掉k，再根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∴∠HEF=180°-∠3-∠4，∠FGH=180°-∠1-∠2，
∴∠HEF=∠FGH，
又∵∠EFG=180°-（90°-∠4）-（90°-∠2）=∠2+∠4，
∠EHG=180°-（90°-∠3）-（90°-∠1）=∠1+∠2，
∴∠EFG=∠EHG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）易得△BEF≌△DGH，△AEH≌△CGF，
∴HD=BF，BE=DG，
∵∠3=∠4，∠A=∠B=90°，
∴△AEH∽△BEF，
∴

AE

BE

=

AH

BF

，
即

AE

6-AE

=

AH

8-AH

，
整理得，

AE

AH

=

3

4

設(shè)AE、AH分別為6k、8k，在Rt△AEH中，EH=10k，
在Rt△BEF中，EF=10（1-k），
∴EF+EH=10（1-k）+10k=10，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2（EF+EH）=2×10=20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，求出

AE

AH

=

3

4

是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．